[論文レビュー] Dynamical Phase Transitions as Properties of the Stationary State: Analytic Results after Quantum Quenches in the Spin-1/2 XXZ Chain

Maurizio Fagotti|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Quantum many-body systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、スピン-1/2 XXZスピンチェーンにおける量子クイルク後のダイナミカル自由エネルギー密度の解析的考察を行い、一般化ギブス集団（GGE）の励起スペクトルにギャップがないことによって非解析的特徴（ダイナミカル相転移）が生じることを示している。これらの特異性は、臨界点を越えてクイルクする場合に限らず、GGEの一般化ハミルトニアンのギャップレス性に起因しており、非平衡ダイナミクスと定常状態の性質を統一的に結びつけるフレームワークを確立している。

ABSTRACT

The (Loschmidt) overlap between the state at different times after a quantum quench is attracting increasing interest, as it was recently shown that in the thermodynamic limit its logarithm per unit of length has a non-analytic behavior if a Hamiltonian parameter is quenched across a critical point. This phenomenon was called a "dynamical phase transition" in analogy with the behavior of the canonical partition function at an equilibrium phase transition. We distinguish between local and nonlocal contributions to the aforementioned quantity and derive an analytic expression for the time evolution of the local part after quantum quenches in the XXZ spin-1/2 chain. The state that describes the stationary properties of (local) observables can be represented by a Gibbs ensemble of a generalized Hamiltonian; we reveal a deep connection between the appearance of singularities and the excitation energies of the generalized Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 量子クイルク後の可積分系におけるダイナミカル自由エネルギー密度の非解析的挙動の起源を理解すること。
• ロシュミット重ね合わせにおける局所的および非局所的寄与を区別し、ダイナミカル自由エネルギーのボリューム（局所的）成分を分離すること。
• ダイナミカル相転移が臨界点を越えてクイルクする場合にのみ関連するのか、またはギャップを持つ相でも発生するのかを調査すること。
• ダイナミカル自由エネルギーの特異性と一般化ハミルトニアンの励起スペクトルとの間の関係を確立すること。

提案手法

• XXZスピンチェーンにおける量子クイルク後のボリューム成分のダイナミカル自由エネルギー密度に関する積分方程式系を導出する。
• 局所的物理量の定常状態を記述するために一般化ギブス集団（GGE）の形式を用いる。
• 一般化ハミルトニアンのドレインエネルギーを分析し、非解析的特徴が現れる条件を特定する。
• ロシュミット振幅の長時間漸近的挙動を近似するために、高速に振動する位相を含む有効なアンザッツを適用する。
• ダイナミカル自由エネルギーの特異性とGGEハミルトニアンの励起スペクトルにギャップがないことの関係を定性的に分析する。
• 無限大から有限の異方性へのクイルクについて数値的に結果を検証し、ギャップを持つ相であっても非解析的挙動が観測されることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XXZスピンチェーンにおける量子クイルク後のダイナミカル自由エネルギー密度に非解析的特徴が現れる条件は何か？
• RQ2 ダイナミカル相転移は臨界点を越えてクイルクする場合にのみ関連するのか、それともギャップを持つ相でも発生するのか？
• RQ3 ロシュミット重ね合わせの非解析的挙動は、一般化ギブス集団の励起スペクトルとどのように関係しているか？
• RQ4 GGE形式から導かれる積分方程式を用いて、ダイナミカル自由エネルギーのボリューム（局所的）成分を解析的に記述できるか？
• RQ5 一般化ハミルトニアンの励起スペクトルのギャップレス性が、時間発展における特異性の出現に果たす役割は何か？

主な発見

• 一般化ハミルトニアンの励起スペクトルがギャップレスである場合にのみ、ボリュームダイナミカル自由エネルギー密度に非解析的挙動が現れる。臨界点を越えてクイルクする場合に限らない。
• 本稿では、一般化ハミルトニアンの励起スペクトルにギャップがないことが、ロシュミット重ね合わせの時間発展における特異性が現れる主要因であると特定した。
• 数値的結果から、XXZモデルのギャップを持つ相であっても非解析的特徴が持続することが示され、ダイナミカル相転移のためには臨界性が必須ではないことが明らかになった。
• ロシュミット振幅の長時間漸近的挙動は、有効なアンザッツにより良好に近似可能であり、そのアンザッツには高速に振動する位相とGGEのドレインエネルギーが含まれる。
• 遅い時間における特異性は概ね周期的であり、非解析的時刻は t*(xc) = (2/sinh η) * (2π(n + 1/2))/d(xc) で与えられる。ここで d(xc) はドレインエネルギーの微分、xc はドレインエネルギーの零点である。
• 解析により、ダイナミカル自由エネルギー密度の特異性が、時間発展の一時的特徴ではなく、GGEが記述する定常状態の本質的性質であることが明らかになった。