[論文レビュー] Dynamical Properties of Gaussian Chains and Rings with Long Range Interactions

Wolfgang Böck, Jinky B. Bornales+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分数ブラウン運動（fBm）を用いて、長距離相互作用を有するガウス鎖およびリング系を調査し、モノマー間の相互作用が調和的力によって支配され、その性質（引力または斥力）がフラクタル指数 H に依存することを示している。H < 1/2 の場合、すべての二体間力は引力的である。H > 1/2 の場合、遠く離れたモノマー同士は斥力的であり、第3近隣の相互作用が引力的になる臨界的 H ≈ 0.75964 が存在する。本研究では結合定数とエネルギースペクトルを導出し、標準的な fBm が H > 1/2 の場合に失敗するための修正周期的モデルを提案している。

ABSTRACT

Various authors have invoked discretized fractional Brownian (fBm) motion as a model for chain polymers with long range interaction of monomers along the chain. We show that for these, in contrast to the Brownian case, linear forces are acting between all pairs of constituents, attractive for small Hurst index H and mostly repulsive when H is larger than 1/2. In the second part of this paper we extend this study to periodic fBm and related models with a view to ring polymers with long range interactions.

研究の動機と目的

• 長距離相関を有するガウス鎖およびリング系におけるモノマー間の有効相互作用の性質を明確化すること。
• フラクタル指数 H の関数として、モノマー間の調和的結合定数 $ g_{kl} $ の明示的表現を導出すること。
• fBmに基づくモデルを周期的系（リング高分子）に拡張し、H > 1/2 の場合に標準的な fBm が正定値でない共分散を生じるため失敗することを解決すること。
• H > 1/2 の場合に長距離の斥力的相互作用を保つ物理的に整合性のある代替の剛性リングモデルを構築すること。
• 2次エネルギー形式 $ \big\rangle x, \mathcal{H}x \big\rangle $ のスペクトルを計算し、それらを基礎的な力の構造と関連付けること。

提案手法

• 鎖およびリングを、$ X_k = B^H(k) $ を用いて fBm から導出される離散ガウス過程としてモデル化し、差分 $ Y_k = X_{k+1} - X_k $ を定義する。
• 共分散行列 $ R_{ik} = \mathbb{E}[Y_i Y_k] $ を用いて逆精度行列 $ A = R^{-1} $ を定義し、2次エネルギー形式 $ (y, A y) $ を得る。
• 補題1を適用してエネルギーを二体間調和ポテンシャルの和に書き直す：$ (y, A y) = \sum_{k,l} g_{kl} (x_k - x_l)^2 $、ここで $ g_{kl} $ は $ A $ の成分から導出される。
• 周期的系では、円周上の測地的距離を用いて修正された共分散 $ \mathbb{E}[|B^H(t) - B^H(s)|^2] = d(t-s)^{2H} $ を定義するが、これは $ H \leq 1/2 $ の場合にのみ有効である。
• H > 1/2 の場合に、エネルギー固有値を制御することで物理的整合性と長距離の斥力的相互作用を保つ代替周期的モデルを構築する。
• 巡回行列理論と離散フーリエ変換を用いて、相互作用行列 $ \mathcal{H} $ の固有値および固有ベクトルを計算し、スペクトル解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相互作用を有するガウス鎖におけるモノマー間の有効力は、フラクタル指数 $ H $ にどのように依存するか。特に、それらは引力的か斥力的か。
• RQ2 なぜ標準的な分数ブラウン運動は $ H > 1/2 $ の場合に有効な周期的過程を定義できないのか。共分散の半正定値性を保つための条件は何か。
• RQ3 標準的な fBm が失敗する $ H > 1/2 $ の場合に、長距離相互作用を有するリング高分子の物理的に整合性のあるモデルを構築できるか。
• RQ4 鎖における第3近隣相互作用が斥力的から引力的へと遷移する正確な $ H $ の値は何か。
• RQ5 エネルギー形式 $ \sum g_{kl} (x_k - x_l)^2 $ を2次形式 $ \langle x, \mathcal{H} x \rangle $ としてどのように表現できるか。また、$ \mathcal{H} $ のスペクトル的性質は何か。

主な発見

• H < 1/2 の場合、ガウス鎖におけるすべての二体間相互作用は引力的である。これは、すべての $ k \neq l $ に対して $ g_{kl} > 0 $ である正の結合定数によって確認され、鎖の端部に有限サイズ効果が現れる。
• H > 1/2 の場合、近隣のモノマー同士は引き寄せられる（$ g_{kl} > 0 $）が、それより離れたモノマー同士は斥力的であり、$ |k-l| \geq 2 $ の場合に $ g_{kl} < 0 $ となる。
• H ≈ 0.75964 のとき、第3近隣の結合定数（例：$ g_{31,34} $ および $ g_{31,28} $）はゼロに達し、これがこれらの相互作用が消滅する遷移点を示している。
• H > 1/2 の場合、標準的な周期的 fBm は正定値でない共分散のため構築できないが、本稿では長距離の斥力的相互作用を保つ代替モデルを構築した。
• $ \mathcal{H} $ はエネルギー2次形式を表す行列であり、一様な並進に対応するゼロ固有値を有し、そのスペクトルは巡回行列理論および離散フーリエ変換を用いて計算された。
• 長距離結合 $ g_k \sim -c k^{-\gamma} $ の場合、モデルが有効であるためには $ \gamma > 3 $ である必要があり、これにより収束性と物理的整合性が保証される。