[論文レビュー] Dynamical properties of random Schrödinger operators

Jean-Marie Barbaroux, Werner Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ および $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上の確率的シュレーディンガー作用素における拡散指数の消滅を示す十分条件を確立し、動的局在性または拡散の不在を示唆する。マルチスケール解析と位置モーメントのセゼロ平均を用いて、コンパクトに台を持つ初期状態へのスペクトル射影の下で $\sigma_{\rm diff}^+ = 0$ を証明する。

ABSTRACT

We study dynamical properties of random Schrödinger operators $H^{(ω)}$ defined on the Hilbert space $\ell^2(\bbZ^d)$ or $L^2(\bbR^d)$. Building on results from existing multi-scale analyses, we give sufficient conditions on $H^{(ω)}$ to obtain the vanishing of the diffusion exponent $$ σ_{ m diff}^+ := \limsup_{T ightarrow\infty } \frac{\log \bbE \left(\la\la\vert X \vert^2 a a_{T,f_I(H^{(ω)})ψ} ight) }{\log T}=0. $$ Here $\bbE$ is the expectation over randomness, $f_{I}$ is any smooth characteristic function of a bounded energy-interval $I$ and $ψ$ is a state vector in the domain of $H^{(ω)}$ with compact spatial support. The quantity $\la\la |X|^2 a a_{T,φ}$ denotes the Cesaro mean up to time $T$ of the second moment of position $\la |X|^2 a_{t,φ}$ at times $0\le t\le T$ of an initial state vector $φ$. If the Hilbert space is $\ell^2(\bbZ^d)$, the method of proof can be strengthened to yield dynamical localization. Under weaker assumptions, we also prove a theorem on the absence of diffusion. The results are applied to a randomly perturbed periodic Schrödinger operator on $L^2(\bbR^d)$, to a simple Anderson-type model on the lattice and to a model with a correlated random potential in continuous space.

研究の動機と目的

• 確率的シュレーディンガー作用素に対して拡散指数が消える十分条件を確立すること。
• スペクトル射影とコンパクトに台を持つ初期状態を用いて、離散的および連続的設定における動的局在性を分析すること。
• 相関のある確率的ポテンシャルを有するモデルおよび摂動された周期的系への拡散の不在に関する結果の拡張。
• マルチスケール解析に基づく共通の枠組みを用いて、さまざまな確率的シュレーディンガーモデルにおける動的挙動の分析を統一すること。
• 波動パッケージが時間とともに広がらない、つまり局在していることを示す厳密な条件を提示すること。

提案手法

• マルチスケール解析の結果を応用し、$H^{(\omega)}$ のスペクトル的および動的挙動に対する境界を導出する。
• 時間 $T$ における $\langle |X|^2 \rangle_{t,\varphi}$ のセゼロ平均を用いて $\langle\!\langle |X|^2 \rangle\!\rangle_{T,\varphi}$ を定義し、長時間平均的な広がりを捉える。
• コンパクトに台を持つ $\psi$ を用いた滑らかなスペクトル射影 $f_I(H^{(\omega)})\psi$ を導入し、初期状態の空間的局在化を実現する。
• 確率的要素の期待値 $\mathbb{E}$ を用いて、不純度の実現ごとの典型的な動的挙動を分析する。
• 3つのモデルにこの手法を適用する：摂動された周期的系、格子アンダーソン模型、相関のあるポテンシャルを有する連続的モデル。
• $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ の構造を活用し、適切な仮定の下で完全な動的局在性が得られることを強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的シュレーディンガー作用素に対して、拡散指数 $\sigma_{\rm diff}^+$ が消える条件は何か？
• RQ2 マルチスケール解析とセゼロ平均された位置モーメントを用いて、離散系における動的局在性を証明できるか？
• RQ3 連続空間における相関のある確率的ポテンシャルの存在は、拡散の不在にどのように影響するか？
• RQ4 拡散の不在に関する結果は、摂動された周期的系へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 初期状態の空間的コンパクトな台が、拡散の消滅を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• マルチスケール解析から導かれた十分条件の下で、拡散指数 $\sigma_{\rm diff}^+$ が消える、すなわち $\sigma_{\rm diff}^+ = 0$ となる。
• $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ では、この手法により動的局在性が得られ、波動パッケージの時間的広がりが生じないことが示される。
• 連続空間では、摂動された周期的シュレーディンガー作用素に対して拡散の不在が証明される。
• 格子上の単純なアンダーソン型モデルに対しても、離散系における局在性が確認される。
• $L^2(\mathbb{R}^d)$ における相関のある確率的ポテンシャルを有するモデルに対しても、導かれた条件の下で拡散の不在が見られる。
• 位置のセゼロ平均された2次のモーメントが時間に対して対数的に有界のままであることが確認され、これは準拡散的または局在的挙動を裏付ける。