[論文レビュー] Dynamical properties of simplicial systems and continued fraction algorithms

Charles Fougeron|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、多変数連分数算法をラベル付き辺を持つ有向グラフ上の確率的ランダムウォークとしてモデル化する、新規な枠組み—単体的系—を導入する。この枠組みにより、ブルン、セルマー、アーヌーク＝ロアージー＝ポincareといった古典的算法の統一的解析が可能となる。一般化されたエルゴード性の基準を確立し、すべての次元におけるラウジ・ギャスケットのハウスドルフ次元がその周囲空間より厳密に小さいことを証明。明示的な上界と、その懸垂フローの最大エントロピー測度の一意性が得られる。

ABSTRACT

We propose a new point of view on multidimensional continued fraction algorithms inspired by Rauzy induction. The generic behaviour of such an algorithm is described here as a random walk on a graph that we call simplicial system. These systems provide a family of examples for random walks with memory recorded by a finite dimensional vector. We introduce a general criterion on these graphs that induces ergodicity together with a bundle of many other dynamical properties. In particular, after computing the representation of Brun, Selmer and Arnoux-Rauzy-Poincare algorithm in this formalism, it provides a unified proof of ergodicity for these classical examples as well as new results such as uniqueness of the measure of maximal entropy on a canonical suspension. These objects also bring a new perspective to some fractal sets such as Rauzy gaskets. We show general explicit upper bound on Hausdorff dimensions of fractals described in this formalism as well as a construction of their measure of maximal entropy. This implies in particular that the Rauzy gasket in all dimensions has Hausdorff dimension strictly smaller than its ambient space, as well as sharper bounds on the dimension and an asymptotic result.

研究の動機と目的

• 古典的多変数連分数算法（例：ブルン、セルマー、アーヌーク＝ロアージー＝ポincare）の力学的解析を、同一の形式的枠組みで統一すること。
• 有限グラフ上の記憶付きランダムウォークにおけるエルゴード性およびその他の力学的性質の一般基準を確立すること。
• 熱力学的形式主義を用いて、ラウジ・ギャスケットのようなフラクタル集合を分析し、そのハウスドルフ次元に対する明示的な上界を提供すること。
• 任意の次元におけるラウジ・ギャスケットの懸垂フローが最大エントロピー測度を一意に持つことの証明。
• 移動作用素のスペクトル的性質とバラガの定数を関連付け、より良い次元推定値を導出すること。

提案手法

• 頂点が組合せ的型を表し、辺が座標の減算に対応する有向単体的グラフ上の加速化ランダムウォークとして、多変数連分数算法をモデル化する。
• 「迅速脱出」性質と、エルゴード性および強い混合性を保証するグラフ論的基準を導入する。
• 単体的系上の懸垂半フローに熱力学的形式主義を適用し、屋根関数とヤコビアン推定値を用いてギブズ測度を構成する。
• ルエール＝ペロン＝フラボーリウスの定理を用い、移動作用素のスペクトル半径を圧力と関連付け、バラガの定数と結びつける。
• 特定のアルゴリズムの力学を解析するための部分グラフパラメータ空間を構築し、ブルン算法などの既知の系と関連付ける。
• 次元 d におけるラウジ・ギャスケットが部分グラフ F の像であることを証明し、力学的同値性を用いて次元の上界やエントロピー測度などの性質を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフに基づくランダムウォークを用いて、古典的多変数連分数算法の統一的力学的枠組みを構築できるか？
• RQ2 このような系におけるエルゴード性および不変測度の一意性を保証するグラフ論的条件は何か？
• RQ3 任意の次元におけるラウジ・ギャスケットのハウスドルフ次元に対する明確な上界は何か？
• RQ4 ラウジ・ギャスケットの上に定義された懸垂フローは、最大エントロピー測度を一意に持つか？
• RQ5 バラガの定数は、関連する移動作用素の圧力およびスペクトル的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 次元 2 におけるラウジ・ギャスケットのハウスドルフ次元は 1.825 よりも厳密に小さい。
• 次元 3 では、ラウジ・ギャスケットのハウスドルフ次元は 2.7 よりも厳密に小さい。
• 次元 4 では、ラウジ・ギャスケットのハウスドルフ次元は 3.612 よりも厳密に小さい。
• 次元 d が増加するにつれ、ラウジ・ギャスケットのハウスドルフ次元は dim_H(G^d) < d−1 + (log d)/(log 2·(d+1)) + o(d^−1.58) を満たす。
• 任意の次元 d≥3 におけるラウジ・ギャスケットの懸垂フローは、最大エントロピー測度を一意に持つ。
• 本稿は、単体的系における一般基準を用いて、ブルン、セルマー、アーヌーク＝ロアージー＝ポincare算法のエルゴード性を統一的に証明する。