[論文レビュー] Dynamical Quantum Phase transitions and Recurrences in the Non-Equilibrium BCS model

Colin Rylands, Victor Galitski|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非平衡BCS模型におけるダイナミカル量子相転移（DQPTs）が、ソリトンに類似した振動を示す超伝導秩序パラメータの各局所的最大値において正確に発生することを解析的に示している。これらのDQPTsは一次相転移であり、熱力学的極限でのみ出現する。秩序パラメータが定常的・定常的な値に達すると、DQPTsは完全に消滅する。

ABSTRACT

Non-equilibrium aspects of the BCS model have fascinated physicists for decades, from the seminal works of Eliashberg to modern realizations in cold atom experiments. The latter scenarios have lead to a great deal of interest in the quench dynamics of fermions with pairing interactions. The recently introduced notion of a dynamical quantum phase transition is an attempt to classify the myriad of possible phenomena which can result in such far from equilibrium systems. These are defined as non-analytic points of the logarithm of the Loschmidt echo and are linked to oscillations in the dynamics a systems order parameter. In this work we analytically investigate the relation between DQPTs and oscillation of the superconducting order parameter in quenches of the BCS model. We find that each oscillation of the order parameter is accompanied by a DQPT which is first order in nature. We show this for a variety of initial states and furthermore find that when the order parameter attains a constant steady state then no DQPTS occur.

研究の動機と目的

• 非平衡BCS模型における超伝導秩序パラメータの振動的挙動とダイナミカル量子相転移（DQPTs）との間の厳密な解析的関係を確立すること。
• 特にクエンチドBCSハミルトニアンの文脈において、時間周期的秩序パラメータの振動を示す系にDQPTsが出現するかどうかを調査すること。
• 秩序パラメータが定常的・定常的な値に達する状態に至った際にDQPTsが存在しなくなる条件を特定すること。
• 熱力学的極限における正確な解析的取り扱いにより、数値的研究にとどまらないDQPTsの理解を拡張すること。
• 初期状態の準備方法（基底状態または励起状態）が、DQPTsの有無を決定づける役割を明確にすること。

提案手法

• クエンチドBCS模型の正確解を用いて、$ L(t) = |G(t)|^2 $ を解析的に計算する。ここで $ G(t) = \braket{\Psi_i|e^{-iH_f t}|\Psi_i} $ である。
• ラクスベクトル形式を用いて、クエンチ後の平均場BCSハミルトニアンの力学を解き、古典的に可積分なスピン系に写像する。
• 秩序パラメータ $ \Delta(t) $ の時間発展を導出し、$ \Delta_- \ll \Delta_+ $ のとき、周期 $ t_{\text{DQPT}} $ でソリトンに類似した振動を示すことを示す。
• 複素平面における $ G(t) $ の解析的構造を分析し、実軸上に存在するゼロをDQPTsの兆候として特定する。
• DQPTsが定常状態領域に出現するかどうかを特定するための条件 $ \mathcal{K}(\epsilon_p) e^{-2it\sqrt{\epsilon_p^2 + \Delta_\infty^2}} = -1 $ を用いる。
• 量 $ \mathcal{K}(\epsilon) $ の大きさを評価し、$ |\mathcal{K}(\epsilon)| < 1 $ を証明することで、定数秩序パラメータ極限におけるDQPTsの存在を否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチドBCS模型における超伝導秩序パラメータの各振動は、ダイナミカル量子相転移（DQPT）に対応するか？
• RQ2 秩序パラメータの振動中に発生するDQPTsの性質（例えば一次または二次相転移）は何か？
• RQ3 DQPTsが消滅する条件は何か。特に、秩序パラメータが定常的・定常的な値に達した状態ではどうか？
• RQ4 初期状態（基底状態または励起状態）が、非平衡BCS模型におけるDQPTsの発生と構造に与える影響は何か？
• RQ5 熱力学的極限において、DQPTsと秩序パラメータダイナミクスとの関係を数値的ではなく、解析的に確立できるか？

主な発見

• DQPTsは、振動する超伝導秩序パラメータ $ \Delta(t) $ の各局所的最大値において正確に発生し、これらのDQPTsの周期は $ \Delta(t) $ の振動周期と一致する。
• DQPTsは一次相転移の性質を示しており、$ \log L(t) $ の特異的挙動によって確認され、熱力学的極限でのみ出現する。
• 秩序パラメータが定常的・定常的な値 $ \Delta_\infty $ に近づくと、DQPTsは発生しなくなる。これは $ |\mathcal{K}(\epsilon)| < 1 $ であるため、DQPTsの条件を満たせないからである。
• 定常状態領域におけるロシュミート・エコー $ L(t) $ の解析的表現は、DQPTsの不在を確認しており、任意の $ t $ において位相因子が $ -1 $ に達しないからである。
• 結果は、基底状態および励起状態を含む広範な初期状態に対して成立し、DQPTsと秩序パラメータの関係の頑健性を示している。
• 本研究は、BCS模型におけるDQPTsの最初の解析的取り扱いを提供し、先行する数値的観察を確認するとともに、熱力学的極限における正確な解析的結果にまで拡張している。