[論文レビュー] Dynamical random multiplicative cascade model in 1+1 dimensions

Juergen Schmiegel, H. C. Eggers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2001

Complex Network Analysis Techniques参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続的で因果的な確率的時間発展を組み込んだ1+1次元空間時間における動的ランダム乗法的カスケードモデルを提案する。静的マルチフラクタルモデルの一般化として、エネルギー散逸場を、時間的・空間的依存の窓関数を用いた安定的ホワイトノイズ場上の対数安定移動平均として定義することで、等時刻および時間的2点相関においてマルチフラクタルスケーリングを再現する。大規模補正を施した場合、スケーリング指数は幾何的モデルと一致する。

ABSTRACT

Geometrical random multiplicative cascade processes are often used to model positive-valued multifractal fields such as for example the energy dissipation field of fully developed turbulence. A dynamical generalisation of these models is proposed, which describes the continuous and homogeneous stochastic evolution of the field in one space and one time dimension. Two-point correlation functions are calculated.

研究の動機と目的

• 乱流におけるエネルギー散逸などの正値をとるマルチフラクタル場の確率的時間発展を記述できる、幾何的ランダム乗法的カスケードモデル（RMCM）の因果的で連続時間への一般化を開発すること。
• 元の幾何的RMCMが持つマルチフラクタルスケーリング性を保ちつつ、時間発展と因果性を組み込むこと。
• 等時刻および時間的2点相関関数を導出し、モデルが静的モデルと同一のマルチフラクタルスケーリング指数を示すかを検証すること。
• モデルの統計的性質、特にモーメントや乗数分布が、乱流エネルギー散逸の実験的観測と整合することを示すこと。

提案手法

• エネルギー散逸場 ε(x,t) は、安定的ホワイトノイズ場 γ(x,t) の指数関数的機能として定義され、因果性を保証するための空間時間窓関数 f(x,t)（t<0 で f=0）による積分が行われる。
• 窓関数 g(t) は、時間スケールのスケール不変な階層を形成し、幾何的RMCMの離散的スケール階層を連続的時間発展に翻訳する。
• 安定的Lévyノイズ場（指数 α ∈ (0,2]）を用いることで、対数場の安定的増分が保証され、特性関数を用いたモーメントの正確な計算が可能になる。
• 2点相関関数は、異なる空間時間点における積分領域の重複体積を計算することで導出され、空間時間的重複体積 V(l) や V(t) を含む式が得られる。
• マルチフラクタルスケーリング指数 τ(n) は安定分布の性質に基づき定義され、τ(n) ∝ σ^α / cos(πα/2) × V(l) × (n - n^α) と表され、モデルの統計がそのノイズと幾何的構造に直接関連付けられる。
• 2点相関関数における大規模なずれを相殺するために、窓関数を t = -T よりも ΔT = (T−tη)η/(L−η) だけ延長する小さな修正を導入し、すべてのスケールで正確なべき乗則スケーリングを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元で、因果的で連続的な確率的モデルを構築できるか。このモデルは幾何的ランダム乗法的カスケードモデルを一般化し、そのマルチフラクタルスケーリング性を保っているか。
• RQ2 このような動的モデルにおける等時刻および時間的2点相関関数はどのように振る舞い、静的ケースと同一のマルチフラクタルスケーリングを示すか。
• RQ3 空間時間的重複体積が相関関数のスケーリング指数を決定する役割は何か。
• RQ4 2点相関関数における大規模なずれを補正することで、すべてのスケールで正確なべき乗則スケーリングを回復できるか。

主な発見

• 等時刻2点相関関数は C_{n1,n2}(l) = (L/l)^{τ[n1,n2]} × exp(−τ[n1,n2](1−l/L)) で与えられ、η < l ≪ L の範囲でマルチフラクタルスケーリングを示す。
• 窓関数を t = -T よりも ΔT = (T−tη)η/(L−η) だけ延長することで、大規模なずれが相殺され、正確なべき乗則スケーリングが得られる：C_{n1,n2}(l) = (L/l)^{τ[n1,n2]}（すべての η ≤ l ≤ L で成立）。
• 時間的2点相関関数は C_{n1,n2}(t) ≈ (T/t)^{τ[n1,n2]}（0 ≪ t < T）とスケーリングし、等時刻の場合と同じスケーリング指数を示す。
• マルチフラクタルスケーリング指数は τ(n) = τ(2)(n−n^α)/(2−2^α) で定義され、τ(2) は σ^α / cos(πα/2) × ηL(T−tη)/(L−η) に比例し、モデルが安定的ノイズパラメータと関連付けられる。
• モデルのモーメント、乗数分布、および高次相関は、乱流エネルギー散逸場の実験的データと整合している。