[論文レビュー] Dynamical stability and Lyapunov exponents for holomorphic endomorphisms of P(k)

François Berteloot, Fabrizio Bianchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 P^k における正則自己準同型のための、力学的安定性の複数の概念の同値性を確立する。これには、反発的周期軌道の安定性、リャプノフ指数の和の擬超調和性、均衡ウェブまたはラミネーションの存在、およびミスィウレヴィッチパラメータの不在が含まれる。主な貢献は、リャプノフ指数の和 L を用いた双曲的分岐理論の統一的枠組みであり、その中心的対象は分岐カレント ddcL と、ジュリア集合の可測な正則モーション（均衡ラミネーション）である。

ABSTRACT

We introduce a notion of stability for equilibrium measures in holomorphic families of endomorphisms of CP(k) and prove that it is equivalent to the stability of repelling cycles and equivalent to the existence of some measurable holomorphic motion of Julia sets which we call equilibrium lamination. We characterize the corresponding bifurcations by the strict subharmonicity of the sum of Lyapunov exponents or the instability of critical dynamics and analyze how repelling cycles may bifurcate. Our methods deeply exploit the properties of Lyapunov exponents and are based on ergodic theory and on pluripotential theory.

研究の動機と目的

• P^k 上の正則自己準同型族のための力学的安定性を定義し、1次元の結果を高次元に一般化すること。
• 反発的周期軌道、リャプノフ指数、均衡ウェブ、ラミネーションに関連する安定性基準の同値性を確立すること。
• 分岐カレント ddcL を中心的対象として導入・分析し、安定性を擬ポテンシャル理論とエルゴディック理論と結びつけること。
• ジュリア集合の可測な正則モーション（均衡ラミネーション）の概念を高次元動的系に拡張すること。
• L の厳密な下調和性または臨界力学の不安定性によって分岐を特徴づけること。

提案手法

• パラメータ空間 M 上で、L(λ) = ∫_Pk log|Jac f| dµλ としてリャプノフ指数の和 L(λ) を定義し、これが擬上凸関数であることを示す。
• エルゴディック理論を用いて、反発的 J-周期軌道が均衡測度 µλ を等分布させ、かつジュリア集合 Jλ 内で稠密であることを示す。
• 均衡ウェブを、各 λ に対して γ(λ) ∈ Jλ を満たす M → P^k の正則セクション γ の確率測度 M として定義し、F-不変性と µλ への射影を満たすものとする。
• 均衡ラミネーションを、ジュリア集合の可測な正則モーションとして定義し、これは均衡ウェブの存在と同値であることを示す。
• 特に臨界集合 C_f への積分による正のカレント [Cf] を用い、擬ポテンシャル理論と正のカレントの理論を応用して分岐を分析する。
• 逆関数定理を定量的評価付きに適用し、逆写像の分岐と歪みの制御を用いて、逆関数の分岐に関する推定を用いて安定性条件の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^1 上の有理写像から P^k 上の自己準同型への力学的安定性の正しい一般化は何か？
• RQ2 高次元正則力学系において、反発的周期軌道の安定性、リャプノフ指数の振る舞い、およびジュリア集合の正則モーションの存在はどのように関係しているか？
• RQ3 P^k における分岐局所は、閉じた正のカレントとしてのサポートとして特徴づけられるか？また、リャプノフ指数の和とどのような関係があるか？
• RQ4 臨界力学は、高次元族における分岐を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 可測な正則モーション（均衡ラミネーション）が存在する条件は何か？そして、安定性とどのように関係するか？

主な発見

• リャプノフ指数の和 L(λ) は M 上で擬上凸であり、L(λ) ≥ k log d / 2 を満たす。
• 族の安定性は、L が M 上で擬調和関数であることと同値であり、安定性局所は L が調和関数である集合として特徴づけられる。
• 均衡ウェブ（測度 µλ の正則な貼り合わせ）の存在は、均衡ラミネーション（ジュリア集合の可測な正則モーション）の存在と同値である。
• 分岐カレントは ddcL として定義され、分岐局所はそのサポートである。族が安定であることは、このカレントがゼロであることと同値である。
• ミスィウレヴィッチパラメータ（非一時的中立的周期軌道を持つパラメータ）の不在は、安定性と同値である。
• 安定性が成立するとき、均衡ウェブは一意的であり、任意の二つの均衡ラミネーション L1, L2 について、M(L1∆L2) = 0 を満たす。