[論文レビュー] Dynamical Systems in Cosmology

A. A. Coley|ArXiv.org|Oct 21, 1999

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、自己相似解（特にべき則的スケール因子を伴うもの）が、位相空間における吸引子または反発子として機能し、初期時および遅刻時に漸近的挙動を決定することを示している。主な結果として、軸子およびドリン場を伴うストリングに由来するモデルにおける循環的バウンシ宇宙が同定され、その軌道はカスナーに類似した状態に対応する鞍点へらせん状に近づく。また、ミックスマスター力学に類似した、有限ではあるが任意に大きな振動が生じる。

ABSTRACT

Dynamical systems theory is especially well-suited for determining the possible asymptotic states (at both early and late times) of cosmological models, particularly when the governing equations are a finite system of autonomous ordinary differential equations. We begin with a brief review of dynamical systems theory. We then discuss cosmological models as dynamical systems and point out the important role of self-similar models. We review the asymptotic properties of spatially homogeneous perfect fluid models in general relativity. We then discuss some results concerning scalar field models with an exponential potential (both with and without barotropic matter). Finally, we discuss some isotropic cosmological models derived from the string effective action.

研究の動機と目的

• 力学系理論を用いて、空間的に均一な宇宙モデルの漸近的挙動を理解すること。
• 自己相似解を位相空間における臨界点として同定し、宇宙モデルの長期的進化を支配するものとする。
• 特に軸子-ドリン系に注目して、ストリング有効作用から導かれる等方的宇宙モデルを分析すること。
• 非自明なモジュラス場やスケールモードを有するモデルにおけるホモクロニク・サイクルおよび振動的挙動の役割を調査すること。
• 宇宙定数および場のポテンシャルが、遅刻時の吸引子および循環的宇宙の可能性に与える影響を特定すること。

提案手法

• 対数時間およびコンパクトな状態空間変数を用いて、宇宙論的ODEを正規化・次元なし形式に変換する。
• 特異点解析、固有値評価、極限集合理論などの力学系技法を適用し、吸引子および反発子を同定する。
• 自己相似解を特徴付けるホモセティックベクトルの存在を用い、これを削減された位相空間における固定点に対応させる。
• 特異点（F、S₁、S₂）の近傍における状態空間内の軌道を分析し、漸近的挙動を決定する。
• 遅刻時ダイナミクスへの宇宙定数の効果をモデル化するため、ω = −1 のブラーンズ＝ディッケ型作用を導入する。
• 拡張された変数（例：N² = ∑Ni²）を用いてモジュラス場やスケールモードを組み込むことで、カスナーに類似した状態間の有限だが任意に大きな振動が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似解は、空間的に均一な宇宙モデルにおいて、どのように漸近的状態として出現するのか？
• RQ2 軸子場は、ストリングに由来する宇宙論において、循環的バウンシ挙動を可能にする役割を果たすのか？
• RQ3 宇宙定数がドリン場と結合する場合、遅刻時ダイナミクスにどのように影響を与えるのか？
• RQ4 非自明なモジュラス場やスケールモードを有するモデルにおいて、振動の数および持続時間はどのように決定されるのか？
• RQ5 本稿の力学系の結果は、ビアンキモデルにおけるミックスマスター型の振動と、どの程度類似しているか、あるいは相違するのか？

主な発見

• 特異点Fは、軸子場の抵抗により崩壊が阻止され、バウンスを経て循環的挙動を示すべきべき則的解に対応する。
• 遅刻時には宇宙定数が支配的となり、宇宙は再収縮し、カスナーに類似した解と解釈される鞍点S₁およびS₂に漸近的に近づく。
• 軌道は、y = 0（軸子支配）の不変集合から外側へらせん状に発散し、モジュラス場が支配的になると、ドリン-モジュラス-真空中解に漸近的に近づく。
• モジュラス場やスケールモードの導入により、異なるカスナーに類似した状態間を有限だが任意に大きな回数振動する軌道が生じ、y = 0 サイクルを模倣する。
• シフトされたドリン場の運動エネルギーは単調に増加し、d²φ/dτ² > 0 が成立する。これは、ダイナミクスの循環的性質を支持する。
• べき則的スケール因子を特徴とする正確な自己相似解が、すべての漸近的挙動の背後にあることが示され、長期的宇宙論的進化を支配する中心的役割を確認した。