[論文レビュー] Dynamical Systems on Hilbert C*-Modules

Abbaspour, Gh., Moslehian, M. S.+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト C*-加群上の一般化導分と力学系を調査し、単純なヒルベルト C*-加群上の任意の一般化導分が閉包可能であるか、または稠密な値域を持つことを確立している。さらに、フルなヒルベルト C*-加群上の一パラメータのユニタリ群が、係数 C*-代数上に C*-力学系を誘導し、加群系の無限小生成子が、代数系の生成子に関する d-導分であることを示している。

ABSTRACT

We investigate the generalized derivations and show that every generalized derivation on a simple Hilbert $C^*$-module either is closable or has a dense range. We also describe dynamical systems on a full Hilbert $C^*$-module ${\mathcal M}$ over a $C^*$-algebra ${\mathcal A}$ as a one-parameter group of unitaries on ${\mathcal M}$ and prove that if $α: \R o U({\mathcal M})$ is a dynamical system, where $U({\mathcal M})$ denotes the set of all unitary operator on ${\mathcal M}$, then we can correspond a $C^*$-dynamical system $α^{'}$ on ${\mathcal A}$ such that if $δ$ and $d$ are the infinitesimal generators of $α$ and $α^{'}$ respectively, then $δ$ is a $d$-derivation.

研究の動機と目的

• 導分に関する結果をヒルベルト C*-加群の設定に一般化し、特に一般化導分に焦点を当てる。
• C*-代数上のフルなヒルベルト C*-加群上における力学系の構造と性質を調査する。
• ヒルベルト C*-加群上の力学系と係数 C*-代数上の C*-力学系との間の対応関係を確立する。
• ヒルベルト C*-加群上における力学系の無限小生成子が、係数代数上の系の生成子に関する d-導分として特徴づけられることを示す。

提案手法

• ヒルベルト C*-加群上での一般化導分を定義し、その閉包可能性と値域の性質を分析する。
• フルなヒルベルト C*-加群 M 上の力学系を、M 上の一パラメータのユニタリ作用素群として表現する。
• 加群作用と内積の保存性を用いて、係数 C*-代数 A 上に誘導された C*-力学系 α′ を構成する。
• Hille-Yosida の定理を用いて、δ（M 上）および d（A 上）の無限小生成子の存在を保証する。
• δ がすべての a ∈ D(d), x ∈ D(δ) に対して δ(ax) = aδ(x) + d(a)x を満たすことを証明し、δ が d-導分であることを示す。
• Stone の定理とスペクトル論を用いて、例えばヒルベルト空間上の有界自己共役作用素の具体例を検証し、一般枠組みの妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純なヒルベルト C*-加群上の一般化導分が、どのような条件下で閉包可能であるか、または稠密な値域を持つことが保証されるか？
• RQ2 フルなヒルベルト C*-加群上における任意の力学系は、係数 C*-代数上に C*-力学系として引き上げ可能か？
• RQ3 ヒルベルト C*-加群上における力学系の無限小生成子は、係数代数上に誘導された系の生成子とどのように関係しているか？
• RQ4 一般化導分が C*-力学系の文脈において、導分と同様にどの程度の性質を示すか？
• RQ5 特に、近似的に内因的（approximately inner）な力学系の文脈において、一般化導分は近似的に内因的か？

主な発見

• 単純なヒルベルト C*-加群上の任意の一般化導分は、閉包可能であるか、または稠密な値域を持つ。これは Niknam の結果を一般化する。
• フルなヒルベルト C*-加群 M 上の一パラメータのユニタリ群 α: ℝ → U(M) は、係数 C*-代数 A 上に C*-力学系 α′: ℝ → Aut(A) を誘導する。
• α の無限小生成子 δ は d-導分であり、すべての a ∈ D(d), x ∈ D(δ) に対して δ(ax) = aδ(x) + d(a)x を満たす。ここで d は α′ の生成子である。
• 誘導された系 α′ は、A 上の *-自己同型の強い連続一パラメータ群であり、α′₀ = id かつ α′_{t+s} = α′_t ∘ α′_s を満たす。
• ヒルベルト空間 H と自己共役作用素 T の例では、α′ の生成子 δ′ は V ∈ K(H) に対して δ′(V) = i[T, V] と与えられ、d-導分構造を確認する。
• この結果は、閉じた一般化導分が、ヒルベルト C*-加群上における力学系の無限小生成子として自然に生じることを示し、C*-力学系理論を加群設定に拡張することを可能にする。