[論文レビュー] Dynamical Systems on Leibniz Algebroids

Gheorghe Ivan, Dumitru Opriş|ArXiv.org|Aug 13, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非反対称ブラケットに一般化されたハミルトニアン力学を用いて、Leibniz代数的構造上での力学系を導入し、導分に基づくブラケット構造を介してLeibnizベクトル場を定義する。新規のクラスのほぼメトリプレクティック代数的構造を確立し、剛体系を含む明示的な力学系を導出。解の軌道は関連するテンソル場および座標力学を用いて分析される。

ABSTRACT

In this paper we study the differential systems on Leibniz algebroids. We introduce a class of almost metriplectic manifolds as a special case of Leibniz manifolds. Also, the notion of almost metriplectic algebroid is introduced. These types of algebroids are used in the presentation of associated differential systems. We give some interesting examples of differential systems on algebroids and the orbits of the solutions of corresponding systems are established.

研究の動機と目的

• 反対称ポissonブラケットをLeibnizブラケットに置き換えることで、ハミルトニアン力学をLeibniz代数的構造に拡張すること。
• Leibniz代数的構造の文脈において、シンプレクティック構造およびポアソン構造の一般化としてのほぼメトリプレクティック代数的構造の概念を導入すること。
• 幾何学的および代数的技法を用いて、Leibniz代数的構造上での微分方程式系の解の振る舞い、特に平衡点付近の挙動を分析すること。
• 剛体系を含む明示的な力学系の例を提示し、関連する反変テンソル場を用いてその解の軌道を導出すること。
• 各引数について線形かつ導分である括弧作用を介して、ハミルトニアン関数とLeibniz代数的構造上のベクトル場との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 滑らかな関数の空間にLeibnizブラケットを定義し、Leibniz法則を満たす双線形写像として：[fg,h] = [f,h]g + f[g,h] および [f,gh] = g[f,h] + [f,g]h。
• B(df,dg) = [f,g] を満たす2階反変テンソル場BをLeibnizブラケットに結びつけ、ベクトル場をX_h(f) = [f,h] として表現可能にする。
• Leibnizベクトル場X_hを用いて力学系を構成し、局所的方程式 ẋ^i = [x^i, h] = B^{ij} ∂h/∂x^j を得る。
• 非退化な対称テンソル場を備えたLeibniz代数的構造の特別なクラスとして、ほぼメトリプレクティック代数的構造を導入し、擬メトリックブラケットを一般化する。
• 双対バンドルE*と関連する2階反変テンソル場（C, ρ, ρ）を用いて力学系をモデル化し、ρをアンカー写像とし、Cをブラケット構造を符号化する。
• 剛体系をR^3上に定義し、p^{ij}を構造テンソル、hを運動エネルギーとして定義することで、特定の軌道動力学を持つ常微分方程式系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反対称でないブラケット（Leibniz法則を満たす）を用いて、ポアソン代数的構造からLeibniz代数的構造へのハミルトニアン力学系の一般化はどのように可能か？
• RQ2 ほぼメトリプレクティック代数的構造の幾何学的構造は何か？また、Leibniz代数的構造の文脈において、シンプレクティック構造およびポアソン構造をどのように一般化するか？
• RQ3 Leibniz代数的構造上での力学系の解の軌道、特に剛体系の場合はどうか？また、位相空間内での挙動は？
• RQ4 与えられたハミルトニアンh2に対して、Λ(dh2,df)=0 を満たすように、双対バンドルE*上に2階反変テンソル場をどのように構成できるか？
• RQ5 別のハミルトニアンh1に対して、Λ2(dh1,df)=0 を満たす第2のテンソル場Λ2が存在するための条件は何か？また、代数的にどのように構成できるか？

主な発見

• R^3上での剛体系は、構造テンソルp^{ij}とh = ½(a₁(x¹)² + a₂(x²)² + a₃(x³)²) を用いてLeibniz代数的構造上での力学系としてモデル化され、特定の時間微分を持つ常微分方程式系が得られる。
• 剛体系の解の軌道は図3および図4に示され、位置(x¹,x²,x³)および運動量(ξ₁,ξ₂,ξ₃)の両空間における軌道を示す。
• 2番目の力学系は、修正された運動方程式 ẋ^i および ẋ̇_i を含み、a₁, a₂, a₃ および座標の2次項が追加されており、慣性モーメントに依存する明示的な係数を持つ。
• a₁=0.6, a₂=0.4, a₃=0.2 の場合、2番目の系の軌道は図5および図6に可視化され、複雑で非自明な位相空間軌道を示す。
• テンソル場Λ₁は、すべてのfに対してΛ₁(dh₂,df)=0 を満たし、線形運動量に類似した量の保存を示す。
• 第2のテンソル場Λ₂は(C₂, ρ₂, ρ₂)として明示的に構成され、C₂は対角で、ρ₂はVᵢ = (aⱼ)²(xʲ)² + (aₖ)²(xᵏ)² および Wᵢ = (aⱼ)²xʲξⱼ + (aₖ)²xᵏξₖ を含む対称行列である。これにより、ハミルトニアンh₁ = a₁x¹ξ₁ + a₂x²ξ₂ + a₃x³ξ₃ に対してΛ₂(dh₁,df)=0 が保証される。