[論文レビュー] Dynamical systems with internal degrees of freedom in non-Euclidean spaces

Jan J. Sławianowski, Vasyl Kovalchuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2008

Elasticity and Wave Propagation参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上を運動する内部自由度（特に無限小ジャイロスコープおよびアフィン剛体）を有する物質点の運動学および力学を定式化する。運動方程式は、内部角運動量が空間の曲率およびねじれにどのように結合するかを示しており、系には5つの保存量と角運動量空間における1つの有効な回転自由度が存在し、全運動は慣性モーメント I に依存することを示している。

ABSTRACT

Presented is description of kinematics and dynamics of material points with internal degrees of freedom moving in a Riemannian manifold. The models of internal degrees of freedom we concentrate on are based on the orthogonal and affine groups. Roughly speaking, we consider infinitesimal gyroscopes and homogeneously deformable gyroscopes (affienly-rigid bodies) in curved manifolds. We follow our earlier models of extended rigid and affinely-rigid bodies moving in a flat space. It is well known that in curved spaces in general there is no well-defined concept of extended rigid or affinely-rigid body. Our infinitesimal models are mathematically well defined and physically they may be interpreted as an approximate description of "small" rigid and affinely-rigid bodies. We derive equations of motion and show how internal degrees of freedom interact with spatial geometry, first of all with the curvature but also with the torsion. Integrability and degeneracy problems are discussed.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド空間における拡張剛体およびアフィン剛体を数学的に一貫した枠組みで定式化すること。標準的定義が破綻する状況においても有効であるようにする。
• 直交群およびアフィン群を対称性として用いて内部自由度をモデル化し、それらを無限小ジャイロスコープおよび一様に変形可能な体とみなす。
• 内部力学と曲がった多様体の幾何学的性質（特に曲率およびねじれ）の間の相互作用を記述する運動方程式を導出する。
• このような系における可積分性および退化の分析を行い、保存量および簡略化された力学的挙動を同定する。

提案手法

• 底多様体 M（物理空間）と全配置空間 Q = ⋃ₓ∈M Qₓ^int を用いたファイバー束の枠組みを採用し、Q = M × Q^int の直積の一般化を行う。
• 全配置空間上でラグランジュ形式およびハミルトニアン形式を適用し、運動エネルギーを正準運動量 S(R) および S_rl で表現する。
• ポincare括弧を用いて運動方程式を導出し、ハミルトニアンにおける干渉項のみが時間発展に寄与することを示す。
• 正準角運動量 S(R) および S_rl を導入し、質量 m および慣性モーメント I を含む明示的逆関係を提示する。
• ℝ³ 内の3次元ベクトル表記を用いて、外積を含む結合されたベクトル微分方程式として力学的方程式を表現する。
• ルジャンドル変換を実行し、ハミルトニアンの I およびすべての運動エネルギー項への明示的依存性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的定義が破綻する曲がったリーマン多様体上における拡張剛体およびアフィン剛体を、一貫してどのようにモデル化できるか？
• RQ2 内部自由度と基盤となる空間の曲率およびねじれの間には、どのような性質の結合が存在するか？
• RQ3 この系に存在する保存量はいくつであり、残りの力学的自由度の構造はいかなるものか？
• RQ4 ポincare括弧方程式に I が現れないにもかかわらず、慣性モーメント I が配置変数の時間発展にどのように影響するか？
• RQ5 内部角運動量の力学を、1つの有効な回転自由度に簡約できるか？

主な発見

• 系には5つの独立した保存量が存在する：|S(R)|²、|S_rl|²、およびスカラー積 δ^{AB}S(R)_A S_rl_B であり、これらは第一および第二の量に関数的に依存する。
• ベクトル (R/2)S(R)^A + S_rl^A は保存量であるため、2つの角運動量ベクトル間の角度は一定である。
• 時間発展に寄与するのは、運動エネルギーのハミルトニアンにおける干渉項のみであり、第一および第三の項はカシミール不変量である。
• 力学系は、S(R) および S_rl が張る平面の極座標角（回転軸は保存ベクトル (168) を通る）の1つの有効自由度に簡約される。
• 配置変数 (r̄, κ̄) の時間発展は、I に明示的に依存するが、I はポincare括弧方程式に現れない。
• ルジャンドル変換およびその逆変換は明示的に I を含み、I が速度変数と運動量変数の間の写像に果たす役割を確認する。