[論文レビュー] Dynamical Zeta Functions, Nielsen theory and Reidemeister torsion

Alexander Fel’shtyn|ArXiv.org|Apr 2, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、力学系における力学的ゼータ関数、ニールセン固定点理論、リードマイスター torsion の間の深い関係を確立する。連続写像および群の自己準同型に対して、リードマイスターおよびニールセンのゼータ関数を導入し、特定のクラス（例えば、最終的に可換な群、冪零群、ほぼアーベル群）においてそれらの有理型および関数方程式の成立を証明する。さらに、特に可積分ハミルトニアン系におけるボット積分およびラウンドモース関数の文脈で、写像トーラス上のホロノミー表現を通じてこれらのゼータ関数とリードマイスター torsion を結びつける。

ABSTRACT

The paper consists of four parts. Part I presents a brief survey of the Nielsen fixed point theory. Part II deals with dynamical zeta functions connected with Nielsen fixed point theory. Part III is concerned with congruences for the Reidemeister and Nielsen numbers. Part IV deals with the Reidemeister torsion . In Chapter 2 we prove that the Reidemeister zeta function of a group endomorphism is a rational function with functional equation in the following cases: the group is finitely generated and an endomorphism is eventually commutative; the group is finite ; the group is a direct sum of a finite group and a finitely generated free abelian group; the group is finitely generated, nilpotent and torsion free. In Chapter 3 we show that the Nielsen zeta function has a positive radius of convergence which admits a sharp estimate in terms of the topological entropy of the map. For a periodic map of a compact polyhedron we prove that Nielsen zeta function is a radical of a rational function. In sect ion 3.4 and 3.5 we give sufficient conditions under which the Nielsen zeta function coincides with the Reidemeister zeta function and is a rational function with functional equation. In Chapter 5 we prove analog of Dold congruences for Reidemeister and Nielsen numbers. In section 6.2 we establish a connection between the Reidemeister torsion and Reidemeister zeta function. In section 6.3 we establish a connection between the Reidemeister torsion of a mapping torus, the eta-invariant, the Rochlin invariant and the multipliers of the theta function. In section 6.4 we describe with the help of the Reidemeister torsion the connection between the topology of the attraction domain of an attractor and the dynamic of the system on the attractor.

研究の動機と目的

• ニールセン固定点理論、リードマイスター torsion、力学的ゼータ関数を結びつけることで、力学系におけるゼータ関数理論を統一的かつ拡張すること。
• 特に群の自己準同型に対して、代数的および位相的設定下でリードマイスターおよびニールセンのゼータ関数の有理型および関数方程式の成立を確立すること。
• ボット積分の分離子図を用いたホロノミー表現および分離子図を用いた、コンパクトなシンプレクティック多様体上のリードマイスター torsion の位相的公式を導出すること。
• さまざまな群クラスおよび写像に対して、リードマイスターおよびニールセン数の合同性に関する性質を調査すること。
• 写像トーラスおよびライアプノフ関数の構造が、吸引子および不変面の位相と torsion をどのように関連付けるかを検討すること。

提案手法

• 写像または自己準同型の反復写像のリードマイスター数の母関数として、リードマイスターのゼータ関数を導入する。
• ポントリャーギン双対性およびトレース公式を適用し、最終的に可換な自己準同型の場合に、ゼータ関数の有理型および関数方程式の成立を証明する。
• ラウンドハンドル分解および非特異的モース-スメール力学系の概念を用い、等エネルギー面におけるボット積分の力学的挙動をモデル化する。
• 臨界円周 γ における積の形で、4次元多様体 Q 上のリードマイスター torsion の公式を導出する。ここで、|det(I - δ(γ)ρ_E(γ))|^{ε(γ)} であり、δ(γ) = ±1、ε(γ) = (-1)^{u(γ)} で、u(γ) は不安定多様体の次元を表す。
• 隔離ブロック B ≃ X_γ × I^s を構成し、単純なホモトピー同値を用いて、(Q_{i+1}, Q_i) の torsion を (X_γ, ∂X_γ) の torsion と関連付ける。
• ビスマールト＝フリード＝ウィッテンのホロノミー定理を適用し、力学的ゼータ関数を通じて torsion をエータ不変量およびシータ乗数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リードマイスターのゼータ関数が有理型であり、関数方程式を満たす条件は何か？
• RQ2 ニールセンおよびリードマイスターのゼータ関数は、双対写像のリフシュェッツのゼータ関数とどのように関係しているか？
• RQ3 可積分ハミルトニアン系におけるボット積分の文脈で、リードマイスター torsion の位相的意味は何か？
• RQ4 より広い群クラスにおいて、リードマイスターおよびニールセン数の合同関係を確立できるか？
• RQ5 臨界円周 γ の分離子図の構造は、多様体のリードマイスター torsion にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 最終的に可換な自己準同型に対して、リードマイスターのゼータ関数は有理型であり、関数方程式を満たす。
• 冪零群の場合、リードマイスターのゼータ関数は関数方程式を満たし、有理型である。
• 双対写像の写像トーラスのリードマイスター torsion は、τ(Q; E) = ∏_γ |det(I - δ(γ)ρ_E(γ))|^{ε(γ)} で与えられる。ここで ε(γ) = (-1)^{u(γ)} であり、δ(γ) = ±1 は可縮性に依存する。
• ボット積分がラウンドモース関数である可積分ハミルトニアン系では、臨界円周が周期軌道に対応し、分離子図がホロノミー表現を通じて torsion を決定する。
• コンパクトで、可縮的で、シンプレクティックな4次元多様体 Q に対して、f が臨界部分多様体として円周のみをもつボット積分 f を持つ場合、torsion の公式は成り立つ。
• 最小の力学的ゼータ関数および mod K ニールセンのゼータ関数が導入され、収束性は位相的エントロピーおよび基本群の構造と関連している。