[論文レビュー] Dynamically Consistent Nonlinear Evaluations and Expectations

Shigē Péng|ArXiv.org|Jan 24, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、後向きストキャスティック微分方程式（BSDEs）を用いて、条件付き請求権の動的で非線形な評価フレームワークを導入し、g-期待値に支配される任意の動的整合性を持つ非線形評価は、必ずg-評価であることを確立している。主な貢献は、このような評価が生成関数gによって完全に決定されることを示す特徴化定理であり、連続時間確率過程における非線形期待の理論を拡張している。

ABSTRACT

How an economic agent (a firm, an investor or a financial market) evaluates a contingent claim, say a European type of derivatives X, with maturity t? In this paper we study a mechanism of dynamic expectations and evaluations. We give the axiomatic conditions of the time consistency. We prove that, under a domination condition, a time consistent nonlinear evaluation is in fact a g-expectation, i.e., it is completely determined a BSDE in which the generator is a given function g.

研究の動機と目的

• 連続時間金融モデルにおける条件付き請求権の動的で時不変な評価を形式化すること。
• 非線形評価作用素がg-期待値として表現可能であるための必要十分条件を同定すること。
• 線形およびG-期待値を超えて、パス依存的で非線形な評価をBSDEによって駆動する非線形期待の理論を一般化すること。
• 最小限の正則性仮定の下で、非線形評価問題の解の存在および一意性を確立すること。

提案手法

• 動的整合性、単調性、時不変性、ゼロ・オール・法則を満たす作用素系 {ℰs,t[·]} が公理 (A1)–(A4) を満たすことを導入する。
• 生成関数gと終端条件Xを用いた後向き確率微分方程式（BSDE）の解を介してg-評価を定義し、ℰs,t^g[X] = ys とする。
• 正則性を保証するため、追加の支配条件 (A5) を課す：十分大きなμに対して ℰs,t[X] − ℰs,t[X′] ≤ ℰ^gμ[X − X′] が成り立つ。ここで gμ = μ(|y| + |z|) である。
• Lipschitz生成関数とL2連続解を有するBSDE理論を用いて、停止時刻における評価作用素の連続性および収束性を証明する。
• ℰ-マルチンゲールに関するドーブ＝マイヤー型分解および任意の停止時刻の定理を適用し、経路ごとの正則性および安定性を確立する。
• 𝒮_T^0 内の停止時刻を用いた近似技術と極限の議論を用いて、有界な停止時刻から一般の停止時刻へと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的整合性を持つ非線形評価作用素が、BSDEによるg-評価として常に表現可能であるための条件は何か？
• RQ2 axiomatic整合性を満たす非線形評価を誘導するBSDEの生成関数gをどのように特徴づけられるか？
• RQ3 支配条件 (A5) は、非線形評価がg-評価であることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 任意の停止時刻の定理は非線形期待に拡張可能か？ もし可能であれば、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 非線形評価の下で、ℰ-マルチンゲールおよびℰ-サブマルチンゲールの性質は、古典的マルチンゲール理論をどのように一般化するか？

主な発見

• 公理 (A1)–(A5) を満たす任意の動的整合性を持つ非線形評価は、必ずg-評価である。すなわち、ある生成関数gに対して ℰs,t[·] = ℰs,t^g[·] が成り立つ。
• 生成関数gは評価作用素によって一意に決定され、評価はそのgを用いたBSDEの解によって完全に特徴づけられる。
• 評価作用素 ℰs,t[·] は停止時刻σおよびτに関して連続であり、単調極限においてL2(ℱT)で収束する。
• 任意の停止時刻の定理はℰ-サブマルチンゲールに対して成立する：σ ≤ τ に対して a.s. で ℰσ,τ[Yτ] ≤ Yσ が成り立つ。
• ℰ-マルチンゲールに関するドーブ＝マイヤー分解定理が確立され、任意のℰ-サブマルチンゲールが一意にℰ-マルチンゲールと単調減少過程に分解可能であることが示された。
• 証明は、𝒮_T^0 内の停止時刻による近似とL2収束に依拠しており、極限においても堅牢性が保証される。