[論文レビュー] Dynamics and entropy in local algebra

Mahdi Majidi-Zolbanin, Nikita Miasnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ネーター局域環の有限長自己写像に対して代数的エントロピーを導入し、位相的エントロピーに類似した性質を確立する。特徴的ゼロでない解釈としてヒルベルト＝クンズ乗法を提供し、写像のインデックス列が有界であるとき代数的エントロピーがゼロになることを証明し、環の次元およびイデアルの成長と関連付ける。

ABSTRACT

We introduce and study a notion of algebraic entropy for self-maps of finite length of Noetherian local rings, and develop its properties. We show that it shares the standard properties of topological entropy. For finite self-maps we explore the connection between the degree of the map and its algebraic entropy, when the ring is a Cohen-Macaulay domain. As an application of algebraic entropy, we give a characteristic-free interpretation of the definition of Hilbert-Kunz multiplicity.

研究の動機と目的

• 有限長のノエター局所環上の自己写像に対して代数的エントロピーを定義し、その性質を研究すること。
• 代数的エントロピーが位相的エントロピーに類似した性質（反復におけるスケーリングや同型写像による不変性など）を満たすことを確立すること。
• 代数的エントロピーを用いてヒルベルト＝クンズ乗法の特徴的ゼロの解釈を提供すること。
• コhen＝マカウールドメインにおける有限自己写像の次数と代数的エントロピーの関係を調査すること。
• イテレーション下でのイデアルの成長に基づいて、代数的エントロピーの上界および下界を導出すること。

提案手法

• 自己写像の反復による極大イデアルの冪で割った環の長さの対数的成長率として代数的エントロピーを定義する。
• $ v(\varphi^n) $ および $ w(\varphi^n) $ の概念を用いる。ここで $ v(\varphi^n) $ は $ \varphi^n(\mathfrak{m})^k \subseteq \mathfrak{m} $ となる最小の整数、$ w(\varphi^n) $ は $ \mathfrak{m}^{w(\varphi^n)} \subseteq \varphi^n(\mathfrak{m}) $ となる最大の整数を表す。
• ヒルベルト＝サミュエル多項式を用いて $ \ell_R(R/\mathfrak{m}^{v(\varphi^n)}) $ および $ \ell_R(R/\mathfrak{m}^{w(\varphi^n)}) $ の長さを推定し、これらが環の次元 $ d $ の多項式として成長することを示す。
• 対数的成長率 $ v_h(\varphi) $ および $ w_h(\varphi) $ を用いて代数的エントロピーの境界を確立し、$ 0 \leq d \cdot v_h(\varphi) \leq h_{\mathrm{alg}}(\varphi,R) \leq d \cdot w_h(\varphi) < \infty $ を得る。
• もし $ w(\varphi^n) $ が有界であれば、$ h_{\mathrm{alg}}(\varphi,R) = 0 $ であることを証明する。これは $ c' $ が有界のとき $ \ell_R(R/\mathfrak{m}^{c'}) $ の有限性を用いる。
• 極小素イデアルの構造と商環への誘導写像を用いて、環のエントロピーがその極小素イデアルを法とする商環のエントロピーの最大値に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノエター局所環上の有限長自己写像に対して代数的エントロピーはどのように定義できるか？
• RQ2 代数的エントロピーは、反復におけるスケーリングや同型写像による不変性といった、位相的エントロピーに類似した性質を満たすか？
• RQ3 代数的エントロピーは、ヒルベルト＝クンズ乗法の特徴的ゼロの解釈を提供できるか？
• RQ4 コhen＝マカウールドメインにおける有限自己写像の次数と代数的エントロピーの関係は何か？
• RQ5 イテレーション下でのイデアルの成長に基づいて、代数的エントロピーの上界および下界は何か？

主な発見

• 代数的エントロピーはスケーリング性質を満たす：すべての $ k \in \mathbb{N} $ に対して $ h_{\mathrm{alg}}(\varphi^k, R) = k \cdot h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) $ である。
• もし $ \mathfrak{a} $ が $ \varphi $-不変イデアルであれば、$ h_{\mathrm{alg}}(\overline{\varphi}, R/\mathfrak{a}) \leq h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) $ が成り立ち、これは位相的エントロピーの不変部分空間における性質に類似している。
• 代数的エントロピーは環の同型写像に関して不変である：$ h_{\mathrm{alg}}(f \circ \varphi \circ f^{-1}, R') = h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) $ である。
• すべての極小素イデアルが $ \varphi $-不変であれば、環のエントロピーは極小素イデアルを法とする商環のエントロピーの最大値に等しい：$ h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) = \max_i h_{\mathrm{alg}}(\overline{\varphi}_i, R/\mathfrak{p}_i) $ である。
• もし $ w(\varphi^n) $ が有界であれば、$ h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) = 0 $ であり、一般には $ 0 \leq d \cdot v_h(\varphi) \leq h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) \leq d \cdot w_h(\varphi) < \infty $ が成り立つ。ここで $ d $ は $ R $ の次元である。
• 正の特徴的におけるフロベニウス自己写像の代数的エントロピーは $ d \cdot \log p $ であるが、その位相的エントロピーはゼロであるため、両者の概念の重要な相違が示される。