[論文レビュー] Dynamics and topological entropy of 1D Greenberg-Hastings cellular automata

Marc Keßeböhmer, Jens D. M. Rademacher+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2019

Cellular Automata and Applications参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、e ≥ 1 個の活性状態および r ≥ 1 個の不活性状態を有する1次元グリーンバーグ・ハスティングスセルオートマトンの力学的挙動および位相的エントロピーを分析する。e ≥ 1 および r ≥ 1 の一般の場合において、デヴァンキー混合的であるが、パルス消滅系と見なせる部分系が、シフト力学系のスカラープロダクトと位相的に同相であることが示され、その位相的エントロピーは正であり、定常欠険によるマルコフ的系に由来するものよりも高い。e および r の増加に伴うスケーリング行動は、両者で異なる。

ABSTRACT

In this paper we analyse the non-wandering set of 1D-Greenberg-Hastings cellular automata models for excitable media with $e\geqslant 1$ excited and $r\geqslant 1$ refractory states and determine its (strictly positive) topological entropy. We show that it results from a Devaney-chaotic closed invariant subset of the non-wandering set that consists of colliding and annihilating travelling waves, which is conjugate to a skew-product dynamical system of coupled shift-dynamics. Moreover, we determine the remaining part of the non-wandering set explicitly as a Markov system with strictly less topological entropy that also scales differently for large $e,r$.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、一般の e ≥ 1 および r ≥ 1 の場合における1次元グリーンバーグ・ハスティングスセルオートマトンの非定常集合および位相的エントロピーを特徴づけることである。
• 本研究は、e = r = 1 の場合に比べてより複雑な構造が、定常的欠陥や不純物に起因して出現する動的挙動を理解することを目的としている。
• 非定常集合を、混合的パルス消滅部分系と、より低いエントロピーのマルコフ的部分系の2つに分解することを目的としている。
• e および r の増加に伴う位相的エントロピーのスケーリング行動を調査し、2つの力学的成分における異なるスケーリング行動を明らかにすることを目的としている。
• 本研究の目的には、完全な動的記述の提供および系の正確な位相的エントロピーの計算が含まれる。

提案手法

• 著者らは、状態空間 A = {0, 1, ..., e + r} を持つフルシフト X = AZ 上で定義されたセルオートマトン T を分析する。ここで 0 は静止状態、E = {1, ..., e} は活性状態、R = {e+1, ..., e+r} は不活性状態である。
• 彼らは局所的前像公式を用いて、最終的像に含まれない禁止3ブロックおよび n ブロック（n ≥ 4）を同定する。これらは非定常集合から除外される。
• パルス消滅力学的挙動は、反対方向に進行する無限大の多パルス列の衝突と消滅を介して分析される。
• 部分集合 Z 上のパルス消滅力学的挙動は、シフト力学系のスカラープロダクトと位相的に同相であることが示され、正確なエントロピー計算が可能になる。
• マーカフ的部分系は、有限状態のマルコフ連鎖として明示的に記述され、より低い位相的エントロピーを持つ。
• 全系の位相的エントロピーが非定常集合のそれと等しいことが示され、パルス消滅部分系のエントロピーは、単一の無限大パルス列シフトのエントロピーの2倍に等しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の e ≥ 1 および r ≥ 1 の場合における1次元グリーンバーグ・ハスティングスセルオートマトンの非定常集合の構造は何か？
• RQ2 系の位相的エントロピーは、パルス消滅力学的挙動とマーカフ的欠陥力学的挙動の間でどのように分解されるか？
• RQ3 パルス消滅力学的挙動はデヴァンキー混合的か？ もしそうならば、どのような既知の力学系と位相的に同相か？
• RQ4 全系の正確な位相的エントロピーは何か？ また、e および r に伴うスケーリング行動はどのように変化するか？
• RQ5 n ≥ 4 に対して (a, 0^{n-2}, b) の形をした禁止ブロック（a, b ∈ R）は、動的挙動およびエントロピーにどのように影響するか？

主な発見

• 1次元グリーンバーグ・ハスティングスCAの非定常集合 Ω は、2つの互いに素な部分に分解される：デヴァンキー混合的パルス消滅部分系 Z と、より低いエントロピーのマーカフ的部分系。
• Z 上のパルス消滅力学的挙動は、結合されたシフト力学系のスカラープロダクトと位相的に同相であることが示され、正確なエントロピー計算が可能になる。
• パルス消滅部分系の位相的エントロピーは正であり、単一の無限大パルス列シフトのエントロピーの2倍に等しい。
• 定常的欠陥および欠陥に起因するマーカフ的部分系は、パルス消滅部分系よりも厳密に低い位相的エントロピーを持つ。
• 2つの力学的成分は、e および r の増加に伴って異なるスケーリング行動を示す：パルス消滅エントロピーは e + r に対して線形に増加するが、マーカフ的部分系は非線形に増加する。
• 本稿では、a, b ∈ R および n ≥ 4 を満たす形 (a, 0^{n-2}, b) の禁止ブロックが、最終的像に現れないことを証明しており、非定常集合が制限されることを示している。