[論文レビュー] Dynamics in canonical models of loop quantum gravity

Ilkka Mäkinen|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 1

ひとこと要約

本学位論文は、ループ量子重力における去次元化モデルに対して、対称的曲率演算子を用いて構築された数学的に整合性のあるハミルトニアン作用素を新たに導入する。この作用素は力学の簡略化を可能とし、摂動論的近似によるハミルトニアン固有値スペクトルの計算を可能にする。また、コherent状態を用いた多項式表現によるインティニヤーの新規表現を導入し、量子重力力学の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

In this thesis we consider the problem of dynamics in canonical loop quantum gravity, primarily in the context of deparametrized models, in which a scalar field is taken as a physical time variable for the dynamics of the gravitational field. The dynamics of the quantum states of the gravitational field is then generated directly by a physical Hamiltonian operator, instead of being implicitly defined through the kernel of a Hamiltonian constraint. We introduce a new construction of a Hamiltonian operator for loop quantum gravity, which has both mathematical and practical advantages in comparison to earlier proposals. Most importantly, the new Hamiltonian can be constructed as a symmetric operator, and is therefore a mathematically consistent candidate for a generator of physical time evolution in deparametrized models. We develop methods for approximately evaluating the dynamics generated by a given physical Hamiltonian, even if an exact solution to the eigenvalue problem of the Hamiltonian cannot be achieved. We also introduce a new representation for intertwiners in loop quantum gravity, based on projecting intertwiners onto coherent states of angular momentum, and in which intertwiners are represented as polynomials of certain complex variables, and operators in loop quantum gravity are expressed as differential operators acting on these variables. In addition to reviewing the results of the author's scientific work, this thesis also gives a thorough introduction to the basic framework of canonical loop quantum gravity, and a self-contained presentation of the graphical formalism for SU(2) recoupling theory, which is the invaluable tool for performing practical calculations in loop quantum gravity. The author therefore hopes that parts of this thesis could serve as a comprehensible source of information for anyone interested in learning the elements of loop quantum gravity.

研究の動機と目的

• 正準ループ量子重力における数学的に整合的かつ物理的に意味のある力学を定式化するという長年の課題に取り組むこと。
• スカラー場を物理的時間として用いる去次元化アプローチを採用することで、ハミルトニアン制約に伴う技術的困難を克服すること。
• ユニタリ時間発展を保証する対称的ハミルトニアン作用素を構築し、曲率作用素の構成によって力学を簡略化すること。
• 複素変数における多項式としてのインティニヤーの新規表現を導入し、作用素の幾何的解釈を可能とすること。
• 正確な解が得られない場合の物理的ハミルトニアン固有値スペクトルの近似手法を提供すること。

提案手法

• 最近導入された曲率作用素を用いて、去次元化モデルにおける新しい物理的ハミルトニアン作用素を構築し、対称作用素としての数学的整合性を保証すること。
• ハミルトニアンのユークリッド的部品を、より単純な曲率作用素の上での摂動として扱う摂動論を用いること。これは、バーバロ–イムリッツィパラメータが大きい場合に有効である。
• SU(2) coherent状態への射影を用いて、インティニヤーの新規表現を導入し、インティニヤーを複素変数における多項式として表現し、作用素を微分作用素として表現すること。
• スピンネットワーク基底における実用的計算を可能とするために、SU(2)再結合理論の図式的記法（3j-、6j-、9j-、12j-記号を用いる）を用いること。
• 図式的計算の基本定理（矢印とノードの符号をすべて反転させても図の値が不変）を用いて、複雑なSU(2)再結合の縮約を簡略化・検証すること。
• 既知の曲率作用素の固有値と固有状態を活用することで、全ハミルトニアンのスペクトルを数値的に近似する手法を実装すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 去次元化モデルにおけるループ量子重力に対して、数学的に整合的かつ対称的なハミルトニアン作用素を構築できるか？
• RQ2 全ハミルトニアン固有値問題が解けない場合、重力場の力学をどのように近似できるか？
• RQ3 新規インティニヤー表現を用いることで、スピンネットワーク状態へのハミルトニアン作用が幾何的に表現できるか？
• RQ4 特にバーバロ–イムリッツィパラメータが大きい場合に、ループ量子重力における物理的ハミルトニアンに摂動論をどの程度適用できるか？
• RQ5 SU(2)再結合理論の図式的記法をどのように体系的に用いて、作用素の行列要素を簡略化・計算できるか？

主な発見

• 提案されたハミルトニアン作用素は対称的であり、去次元化モデルにおけるユニタリな物理的時間発展を生成する数学的に整合的な候補である。
• ハミルトニアン構築における曲率作用素の使用により、その構造が著しく簡略化され、より取り扱いやすい計算が可能になった。
• バーバロ–イムリッツィパラメータが大きい場合、ハミルトニアンのユークリッド的部品は曲率作用素の上での摂動として作用し、標準的摂動論を用いて全ハミルトニアンのスペクトルを近似可能である。
• 新規インティニヤー表現では、インティニヤーが複素変数における多項式として表現され、作用素は微分作用素として作用し、角運動量coherent状態をパrameter化する単位ベクトルの観点から幾何的解釈が可能になる。
• 図式的記法、特に矢印と符号の反転による不変性に関する基本定理を用いることで、12j-記号のような複雑なSU(2)再結合の縮約が、6j-および9j-記号の積に体系的に簡略化できる。
• 数値的例示により、近似手法の実用性が確認され、既知の曲率作用素の固有状態を用いることで、物理的ハミルトニアンのスペクトルが妥当な精度で推定可能であることが示された。