[論文レビュー] Dynamics in chemotaxis models of parabolic-elliptic type on bounded domain with time and space dependent logistic sources

Tahir Bachar Issa, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2016

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ひとこと要約

本稿は、有界領域における時空間依存のロジスティック源を伴う放物型-放物型キモタクシス系に対して、古典解のグローバル存在性、有界性、一意性を確立する。係数 $χ$、ロジスティック項 $a_1, a_2$、空間次元 $n$ に関する条件下で、周期的またはほぼ周期的である性質を係数から継承する、グローバルに安定な全正解が存在することを証明する。結果として、不均一環境における長期的ダイナミクスの理解が拡張される。

ABSTRACT

This paper considers the dynamics of the following chemotaxis system $$ \begin{cases} u_t=Δu-χ abla (u\cdot abla v)+u\left(a_0(t,x)-a_1(t,x)u-a_2(t,x)\int_Ωu ight),\quad x\in Ω\cr 0=Δv+ u-v,\quad x\in Ω\quad \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0,\quad x\in\partialΩ, \end{cases} $$ where $Ω\subset \mathbb{R}^n(n\geq 1)$ is a bounded domain with smooth boundary $\partialΩ$ and $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) are locally Hölder continuous in $t\in\mathbb{R}$ uniformly with respect to $x\in\barΩ$ and continuous in $x\in\barΩ$. We first prove the local existence and uniqueness of classical solutions $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$ for various initial functions $u_0(x)$. Next, under some conditions on the coefficients $a_1(t,x)$, $a_2(t,x)$, $χ$ and $n$, we prove the global existence and boundedness of classical solutions $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with given nonnegative initial function $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$. Then, under the same conditions for the global existence, we show that the system has an entire positive classical solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$. Moreover, if $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are periodic in $t$ with period $T$ or are independent of $t$, then the system has a time periodic positive solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ with periodic $T$ or a steady state positive solution $(u^*(x),v^*(x))$. If $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are independent of $x$ , then the system has a spatially homogeneous entire positive solution $(u^*(t),v^*(t))$. Finally, under some further assumptions, we prove that the system has a unique entire positive solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ which is globally stable . Moreover, if $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are periodic or almost periodic in $t$, then $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ is also periodic or almost periodic in $t$.

研究の動機と目的

• 有界領域における時空間依存のロジスティック源を伴う放物型-放物型キモタクシス系の長期的ダイナミクスを調査すること。
• 係数およびキモタクシス感受性 $\chi$ に対して一般な条件下で、古典解の存在性と有界性を確立すること。
• 周期的またはほぼ周期的である性質を時間係数から継承する、一意な全正解が存在することを証明すること。
• ロジスティック項および領域の幾何的構造に関するさまざまな構造的仮定の下で、解の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 初期データが $C^0(\bar{\Omega})$ に属する場合、固定点法およびシューディンガー推定を用いて、古典解の局所的存在および一意性を確立する。
• $\chi$、$a_1(t,x)$、$a_2(t,x)$、$n$ に関する条件の下で、エネルギー推定および最大原理の技法を用いて、解のグローバル存在性と有界性を証明する。
• 初期時刻 $t_0$ を $-\infty$ に近づける極限過程を用いて、全正解を構成する。
• 異なる初期データから出発する解が、$C^0(\bar{\Omega})$ で同じ極限に収束することを示すことにより、全正解の一意性を証明する。
• ほぼ周期的関数論を適用し、係数 $a_i(t,x)$ からのほぼ周期性が、一意な全正解に継承されることを示す。
• 比較原理および収束の議論を用いて、全正解の $C^0(\bar{\Omega})$ ノルムにおけるグローバル漸近的安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空間依存のロジスティック源を伴う放物型-放物型キモタクシス系が、どのような条件下でグローバル古典解を許容するか。
• RQ2 係数および $\chi$ に関する適切な仮定の下で、一意な全正解が存在し、それがグローバルに安定であるか。
• RQ3 全正解が、時間依存するロジスティック項 $a_i(t,x)$ からの周期性またはほぼ周期性を継承できるか。
• RQ4 キモタクシス感受性 $\chi$ とロジスティック減衰項 $a_1(t,x)$、$a_2(t,x)$ の間の相互作用が、解の有界性および安定性にどのように影響するか。
• RQ5 非負で非自明な初期データをもつ解の、$t \to \infty$ における漸近的挙動はいかなるものか。

主な発見

• 任意の非負で非自明な初期データに対して、解 $(u^*(x,t), v^*(x,t))$ は、$C^0(\bar{\Omega})$ ノルムにおいてグローバルに安定な一意な全正古典解である。
• 係数 $a_i(t,x)$ が周期的で周期 $T$ を持つ場合、一意な全正解も同じ周期 $T$ を持つ周期的解である。
• 係数 $a_i(t,x)$ が $x$ に依存しない場合、一意な全正解は空間的に一様である。すなわち、$u^*(x,t) = u^*(t)$、$v^*(x,t) = v^*(t)$ である。
• 係数 $a_i(t,x)$ が $t$ に関してほぼ周期的である場合、一意な全正解も $t$ に関してほぼ周期的である。
• 解の収束は空間的に一様に起こり、$\lim_{t \to \infty} \left( \|u(\cdot,t;t_0,u_0) - u^*(\cdot,t)\|_{C^0(\bar{\Omega})} + \|v(\cdot,t;t_0,u_0) - v^*(\cdot,t)\|_{C^0(\bar{\Omega})} \right) = 0$ が成り立つ。
• 一意性の証明は、解の流れの連続性および有界性を用い、$t_0 \to -\infty$ のとき異なる初期データから出発する解が同じ極限に収束することを示すことにより行われる。