[論文レビュー] Dynamics in parallel of double Boolean automata circuits

Mathilde Noual|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、中央ノードを共有する2つの連結した巡回回路からなる二重ブール自己認識回路（dbac）のダイナミクスを調査し、負-正および負-負のdbacシステムにおいて、数論的関数（Möbius関数やEulerのトーティエント関数など）を用いて、吸引子および周期的配置の数の正確な公式を導出している。その結果、吸引子の数は個々のサイズ $​\ell$ や $r$ に依存せず、合計サイズ $N = \ell + r$ と $​\Delta = \gcd(\ell, r)$ のみに依存することが示された。

ABSTRACT

In this paper, we give some results concerning the dynamics of double Boolean automata circuits (dbac's for short), namely, networks associated to interaction graphs composed of two side-circuits that share a node. More precisely, we give formulas for the number of attractors of any period, as well as the total number of attractors of these networks.

研究の動機と目的

• 二重ブール自己認識回路（dbac）の周期的ダイナミクスを理解すること、特に片方または両方の側回路が負である場合に注目する。
• 混合または負の側回路を有するdbacシステムにおける吸引子および周期的配置の数を特徴付けること。
• 吸引子の数が個々のサイズ $​\ell$ や $r$ に依存せず、合計サイズ $N = \ell + r$ と $​\Delta = \gcd(\ell, r)$ のみに依存することを示すこと。
• Möbius関数やEulerのトーティエント関数などの数論的関数を用いて、吸引子数の組み合わせ的公式を提供すること。

提案手法

• dbacを、局所的遷移が恒等関数または否定関数によって定義される中央ノードを共有する2つの側回路を持つネットワークとしてモデル化する。
• 正確な周期 $p$ を持つ配置の数を計算するためにMöbius逆転公式を用い、$\mathtt{C}_{p}^{\ast}(\ell,r) = \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot \mathtt{C}_{p}(\ell,r)$ で与えられる。
• 周期 $p$ の吸引子の数を $\mathtt{A}_{p}(\ell,r) = \frac{1}{p} \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot \mathtt{C}_{p}(\ell,r)$ として導出する。ここで $\mathtt{C}_{p}(\ell,r)$ は負-負システムでは $P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ に依存する。
• 配置数を計算するために、連続する1が2つ以上存在しない長さ $k$ の2進文字列の数として定義される関数 $P(k)$ を適用する。
• 最終的な総吸引子数の公式において、トーティエント関数 $\psi$ を用い、$\mathtt{T}^{=}_{N,\Delta} = \frac{1}{N} \sum_{p|N} \psi(N/p) \cdot P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ となる。
• コンピュータシミュレーションを実施し、さまざまな $\ell, r$ 値および $\gcd(\ell,r)$ における吸引子数のパターンを検証および観察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重ブール自己認識回路における吸引子周期は、側回路のサイズおよび符号にどのように依存するか？
• RQ2 片方が負で片方が正の側回路を有するdbacにおける、正確な周期的配置および吸引子の数は何か？
• RQ3 二重負のdbacにおける吸引子数は、$N = \ell + r$ と $\Delta = \gcd(\ell, r)$ のみを用いて表現可能か？
• RQ4 Möbius関数は、このようなシステムにおける周期的配置および吸引子の数え上げに果たす役割は何か？
• RQ5 与えられた $N$ に対して、吸引子総数が最大になる条件は何か？

主な発見

• 二重負のdbac $D_{\ell,r}$ において、周期 $p$ の配置数は $p$ および $\Delta_p = \gcd(\Delta, p)$ のみに依存し、$C_p(\ell,r) = P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ で与えられる。ここで $P(k)$ は長さ $k$ の連続する1が2つ以上存在しない2進文字列の数を表す。
• 二重負のdbacにおける周期 $p$ の吸引子数は $\mathtt{A}_p^{=} = \frac{1}{p} \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot P(q/\Delta_q)^{\Delta_q}$ である。
• 二重負のdbacにおける総吸引子数は $\mathtt{T}^{=}_{N,\Delta} = \frac{1}{N} \sum_{p|N} \psi(N/p) \cdot P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ であり、$K = N/\Delta$ が素数のとき簡略化される。
• $K = 2$ のとき、$\mathtt{T}^{=}_{N,N/2} = \frac{1}{N} \sum_{q|N/2, \gcd(q,2)=1} \psi(q) \cdot 2^{N/(2q)}$ であり、$K = 3$ のとき $\mathtt{T}^{=}_{N,N/3} = \frac{1}{N} \sum_{q|N/3, \gcd(q,3)=1} \psi(q) \cdot 3^{N/(3q)}$ となる。ここで $P(2)=2$ および $P(3)=3$ である。
• コンピュータシミュレーションの結果、$\mathtt{T}^{=}\!(\ell,r)$ は $\ell = r$ のとき最大であり、$N$ が3で割り切れないときには $\Delta = N/2$ のとき、$N$ が3で割り切れるときには $\Delta = N/3$ のとき最大であると示唆されているが、これらは未解決の予想である。
• 二重負のdbacにおける総吸引子数は、$\ell$ や $r$ の個々の値に依存せず、$N = \ell + r$ と $\Delta = \gcd(\ell, r)$ のみに依存することが、シミュレーションおよび理論的公式によって確認された。