[論文レビュー] Dynamics in several complex variables: endomorphisms of projective spaces and polynomial-like mapping

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Oct 5, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、複素多変数動学におけるポテンシャル論的手法を発展させ、射影空間上の自己準同型と多項式的写像に焦点を当てている。前像の等分布性が均衡測度へと成立し、相関の指数的減衰およびK-混合性が証明され、DSH空間のコンパクト性と超ポテンシャル理論を用いて、測度が中程度であることおよびエントロピーが最大であることが示された。

ABSTRACT

The emphasis of this course is on pluripotential methods in complex dynamics in higher dimension. They are based on the compactness properties of plurisubharmonic functions and on the theory of positive closed currents. Applications of these methods are not limited to the dynamical systems that we consider here. We choose to show their effectiveness and to describe the theory for two large families of maps. The first chapter deals with holomorphic endomorphisms of the projective space P^k. We establish the first properties and give several constructions for the Green currents and the equilibrium measure μ. The emphasis is on quantitative properties and speed of convergence. We then treat equidistribution problems and establish ergodic properties of μ: K-mixing, exponential decay of correlations for various classes of observables, central limit theorem and large deviations theorem. Finally, we study the entropy, the Lyapounov exponents and the dimension of μ. The second chapter develops the theory of polynomial-like maps in higher dimension. We introduce the dynamical degrees and construct the equilibrium measure μof maximal entropy. Then, under a natural assumption, we prove equidistribution properties of points and various statistical properties of the measure μ. The assumption is stable under small pertubations on the map. We also study the dimension of μ, the Lyapounov exponents and their variation. Our aim is to get a self-contained text that requires only a minimal background. In order to help the reader, an appendix gives the basics on p.s.h. functions, positive closed currents and super-potentials on projective spaces. Some exercises are proposed and an extensive bibliography is given.

研究の動機と目的

• 複素多変数動学のための基礎的枠組みをポテンシャル論を用いて構築すること。
• 複素自己準同型 $\mathbb{P}^k$ の均衡測度の統計的性質を分析すること。
• 点から部分多様体および周期点への等分布結果の拡張。
• エントロピー、リャプノフ指数、均衡測度の次元といったエルゴード的および幾何的不変量の研究。
• 高次元における多項式的写像の理論の構築、均衡測度の構成および等分布定理の導出。

提案手法

• DSH空間（擬・シュワルツ・サブハーモニック関数の差の空間）のコンパクト性を用いて収束性と正則性を制御する。
• 正規化されたカレントの持ち上げの極限として、引き戻しを用いてグリーンカレント $T^p$ を構成し、収束速度の推定を保証する。
• $dd^c$-方程式および超ポテンシャル論を応用して、正の閉カレントのウェッジ積の定義と分析を行う。
• ホルダー連続性および容量推定を用いて、中程度測度および指数関数の積分可能性を証明する。
• ハルトゴスの収束およびカレント上の弱位相を用いて、摂動に対して安定性を保証する。
• 反復写像の次数の漸近的成長を用いて動的次数およびエントロピーを定義し、最大エントロピー測度に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前像 $f^{-n}(a)$ が均衡測度 $\mu$ へと等分布するための条件は何か？
• RQ2 観測関数の正則性に依存して、$\mu$ の統計的性質（相関の指数的減衰、中心極限定理など）はどのように変化するか？
• RQ3 多項式的写像の動的次数とその均衡測度のエントロピーとの関係は何か？
• RQ4 DSH空間のコンパクト性が、混合性および中程度測度の性質の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 超ポテンシャルおよびレロング数のホルダー連続性を仮定した場合、正の閉 $(p,p)$-カレント $S$ に対して、均衡測度 $\mu$ のハウスドルフ次元はどのように表されるか？

主な発見

• 複素自己準同型 $\mathbb{P}^k$ に対して、$a$ が完全に不変な代数的集合 $\mathscr{E}$ の外にあるすべての点について、$f^{-n}(a)$ に一様に分布する確率測度は、均衡測度 $\mu = T^k$ に収束する。
• 均衡測度 $\mu$ はK-混合であり、DSH空間に属する観測関数に対して相関が指数的に減衰する。
• 測度 $\mu$ は中程度である：任意の有界な $\varphi$ がDSHに属するとき、$\alpha, c > 0$ が有界集合上で一様に成り立つように $\int e^{\alpha|\varphi|} d\mu \leq c$ が成り立つ。
• 多項式的写像の均衡測度は最大エントロピーを持ち、自然な動的次数条件の下で等分布が成立する。
• 正の閉 $(p,p)$-カレント $S$ に対して、その超ポテンシャルのホルダー連続性を仮定すると、均衡測度 $\mu$ のハウスドルフ次元は $2(k-p)$ よりも厳密に大きい。
• 均衡測度 $\mu$ は中心極限定理および大偏差定理を満たし、そのレートは観測関数のDSHノルムによって制御される。