[論文レビュー] Dynamics in Systems with Modulated Symmetries

Pablo Sala, Julius Lehmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多極子およびサブシステム対称性を拡張する一般化された空間的変調対称性—指数的および（準）周期的—を導入する。このような対称性が、特異な非平衡ダイナミクスを引き起こすことを示している：1次元では、有限の運動量によって変調された拡散的相関スケーリングを誘導する。高次元では、格子スケールの空間的揺らぎと保存運動量の直線／面を伴い、劣拡散的挙動を生成する。一方、指数的変調では、無限に長く続く境界相関が生じる。

ABSTRACT

We extend the notions of multipole and subsystem symmetries to more general {\it spatially modulated} symmetries. We uncover two instances with exponential and (quasi)-periodic modulations, and provide simple microscopic models in one, two and three dimensions. Seeking to understand their effect in the long-time dynamics, we numerically study a stochastic cellular automaton evolution that obeys such symmetries. We prove that in one dimension, the periodically modulated symmetries lead to a diffusive scaling of correlations modulated by a finite microscopic momentum. In higher dimensions, these symmetries take the form of lines and surfaces of conserved momenta. These give rise to exotic forms of sub-diffusive behavior with a rich spatial structure influenced by lattice-scale features. Exponential modulation, on the other hand, can lead to correlations that are infinitely long-lived at the boundary, while decaying exponentially in the bulk.

研究の動機と目的

• 多極子およびサブシステム対称性を、指数的および（準）周期的形を含むより広いクラスの空間的変調対称性へ一般化すること。
• 局所的相互作用を持つ確率的セルオートマトンを用いて、1次元、2次元、3次元の明示的な微視的モデルを構築すること。
• こうした系の長時間ダイナミクスを調査し、特に変調対称性が相関関数や輸送挙動に与える影響を明らかにすること。
• 格子スケールの特徴が、非可換な空間的対称性を持つ系において、巨視的流体力学的挙動に与える影響を特定すること。
• 運動量空間における保存運動量ハイパーシューベースと実空間における異常な空間的減衰および揺らぎの間の関係を確立すること。

提案手法

• 空間的に変調された量 $\alpha_{\bm{r}}$ を用いて、$\mathcal{Q}_{\{\alpha_{\bm{r}}\}} = \sum_{\bm{r}} \alpha_{\bm{r}} q_{\bm{r}}$ の形の保存電荷として、変調対称性を形式化する。
• 局所ゲート $G_x = \{n_{-1}, n_0, n_{+1}\}$ を用いた確率的セルオートマトンフレームワークを導入し、ダイナミクスをシミュレートするとともに、対称性を強制する。
• ゲートダイナミクス下での保存を保証するため、$\alpha_j$ についての再帰関係 $\alpha_{j+2} = \frac{p}{q}\alpha_{j+1} - \alpha_j$ を導出する。
• 運動量空間における保存運動量多様体の逆フーリエ変換を通じて、実空間における相関関数の減衰を分析する。
• 運動量空間における閉ループ上での漸近積分に停留位相近似を適用し、一般方向では $r^{-1/2}$ の減衰が得られることを示す。
• 2次元における双曲的弧などのパラメータ化された運動量空間多様体上での定積分を用いて、実空間における変調 $\alpha(\bm{r})$ を数値的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な多極子対称性やサブシステム対称性を超える空間的変調対称性が、量子系の長時間ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ2 非一様な運動量空間多様体に関連する保存量の実空間における構造と減衰挙動は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 2次元および3次元において保存運動量の直線または面が、劣拡散的または揺らぎを伴う相関ダイナミクスをどのように引き起こすか？
• RQ4 対称性電荷の指数的変調が、系の境界で無限に長く続く相関を生じるか？
• RQ5 格子スケールの特徴が、非並進不変な保存量を持つ系の巨視的流体力学的挙動に、どの程度影響を与えるか？

主な発見

• 1次元では、周期的変調対称性が、有限の微視的運動量によって変調された拡散的相関スケーリングを誘導し、微視的長さスケールでの揺らぎを示す。
• 2次元および3次元では、保存運動量多様体が閉じた曲線または表面の形をとり、格子スケールの特徴に影響を受ける豊かな空間的揺らぎを伴う劣拡散的ダイナミクスを生成する。
• 指数的変調対称性では、一般方向において実空間の保存量が $r^{-1/2}$ で減衰し、境界では長寿命の相関が、バルクでは指数的減衰が見られる。
• 運動量空間のループからの実空間変調の漸近的減衰は、方向ベクトルがループに垂直となる点での停留位相近似により $r^{-1/2}$ となる。
• 非一般的状況や運動量空間における正方形領域への統合でも、減衰は依然として遅く、一部の配置では $r^{-1}$ の増幅が観測される。
• パラメータ化された運動量空間曲線（例：2次元における双曲的弧）上での逆フーリエ変換の数値的評価により、複雑な空間的揺らぎと遅い減衰が確認され、解析的予測を裏付けた。