[論文レビュー] Dynamics near manifolds of equilibria of codimension one and bifurcation without parameters

Stefan Liebscher|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平衡点のcodimension-one多様体を持つ力学系において、外部パラメータを用いずに分岐を分類するフレームワークを提案する。このフレームワークは、系の力学を滑らかな写像の特異点と関連付けることで、特異点理論に帰着する。平衡点多様体をスカラー乗数で因数分解することで、問題を特異点理論に還元し、このような多様体の近傍における一般の分岐が、$ otag\dot{z}_m = \pm z_m^{m+1}$ の普遍的展開（versal unfolding）と局所的にフロー同型であることを示した。これにより、外部パラメータが存在しない非退化な分岐状況に対する体系的な分類ツールが得られた。

ABSTRACT

We investigate the breakdown of normal hyperbolicity of a manifold of equilibria of a flow. In contrast to classical bifurcation theory we assume the absence of any flow-invariant foliation at the singularity transverse to the manifold of equilibria. We call this setting bifurcation without parameters. In the present paper we provide a description of general systems with a manifold of equilibria of codimension one as a first step towards a classification of bifurcations without parameters. This is done by relating the problem to singularity theory of maps.

研究の動機と目的

• 外部パラメータがなく、平衡点多様体に対してフロー不変な横断的ファイブレーションが存在しない場合の、分岐の体系的分類を開発すること。
• 正規双曲性が崩壊するcodimension-oneの平衡点多様体を持つ力学系を、外部パラメータに依存せずに分析すること。
• このような分岐と滑らかな写像 $h: \mathbb{R}^{m+1} \to \mathbb{R}$ の特異点との対応関係を確立し、特異点理論の適用を可能にすること。
• 孤立したcodimension-$m$点における一般の分岐の正規形を、任意の有限次までの有効性を持つ形で提供すること。
• 古典的分岐理論と外部パラメータなしの分岐との違いを明確にすること、特にドリフトによる横断的ファイブレーションの欠如に起因する点。

提案手法

• ベクトル場を $F(x,y) = x \tilde{F}(x,y)$ の形に表現することで、平衡点多様体を因数分解し、$\mathbb{R}^{m+1}$ 上の非消滅ベクトル場 $\tilde{F}$ に問題を還元する。
• $\tilde{F}$ にフローボックス定理を適用し、$\tilde{F}$ を定数ベクトル場 $(0,\dots,0,1)$ に変換する局所微分同相写像 $h$ を構成する。
• $h$ を用いて、$y$ をパラメータとする実数直線上のベクトル場の族を誘導し、その動的挙動は $\dot{z}_m = \pi_x h(z_0,\dots,z_m)$ に従う。
• 特異点理論を用いて得られた1次元ベクトル場を分類し、一般の正規形として $\dot{z}_m = \pm z_m^{\ell+1}$ の普遍的展開（$\ell \leq m$）を同定する。
• 一般の場合には、$\dot{z}_m = \pm z_m^{m+1}$ の普遍的展開が得られ、低次の項の係数が一般に非退化であることを示す。
• 座標変換を用いて、任意の有限正規形次数 $N$ までの中間項を消去し、正規形が標準的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部パラメータがなく、フロー不変な横断的ファイブレーションが存在しない場合、どのように分岐を分類できるか？
• RQ2 codimension-oneの平衡点多様体上のcodimension-$m$分岐点近傍における一般のベクトル場の正規形は何か？
• RQ3 横断的ファイブレーションの欠如が、古典的分岐理論と比較して局所的力学にどのように影響を与えるか？
• RQ4 外部パラメータなしに生じる平衡点多様体を持つ系において、特異点理論を用いて分岐を分類できるか？
• RQ5 y方向のドリフト項が、フロー不変なファイブレーションの存在を妨げ、力学にどのように影響を与えるか？

主な発見

• codimension-oneの平衡点多様体上でのcodimension-$m$分岐点近傍の力学は、局所的にフロー同型である。その形は、$ otag\dot{z}_m = \pm z_m^{m+1} + \sum_{k=0}^{m-1} z_k z_m^k + \mathcal{O}(z_m^N)$ の普遍的展開である。
• 一般の場合には、特異点 $\dot{z}_m = \pm z_m^{m+1}$ の普遍的展開に対応し、$m+1$ 個の独立パラメータを持つ。
• フローボックス変換により、y方向のドリフトが任意のフロー不変な横断的ファイブレーションを防ぎ、古典的分岐理論とは明確に区別される。
• 正規形は任意の有限次 $N \leq M$ まで有効であり、ここで $M$ は元のベクトル場の滑らかさのクラスを表す。
• 係数写像 $ (z_0,\dots,z_{m-1}) \mapsto (\zeta_0,\dots,\zeta_{m-1}) $ は一般にフルランクを示し、展開が普遍的であることを保証する。
• 本結果により、外部パラメータなしの分岐に対する初めての体系的分類が得られ、孤立した事例研究をはるかに超えるものとなった。