[論文レビュー] Dynamics of annulus maps III: completeness

J. A. Sabater Iglesias, Aldo Portela+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、|d| > 1 である開アニュラスの連続的かつ全射的な自己写像が、周期的点のニールセンクラス完全性を最大限に達成する条件を確立する。ニールセン理論、リスキッツ指数、被覆空間技法を用いて、写像が完全に不変な本質的コンパクト集合（または前方不変で局所的に連結な集合）を保存するならば、すべての周期的点がそのコンパクト集合のフィルダード集合に含まれることを証明する。主な結果は完全性である。つまり、各反復写像 fⁿ に対して、ニールセンクラスの数が理論上の最大値 |dⁿ − 1| に達することを示している。

ABSTRACT

Consider a continuous surjective self map of the open annulus with degree d > 1. It is proved that the number of Nielsen classes of periodic points is maximum possible whenever f has a completely invariant essential continuum. The same result is obtained in negative degree |d| > 1 and for just forward invariant essential continua, provided that the continuum is locally connected. We also deal with the problem of wether there is a representative of each Nielsen class in the filled set of the invariant continuum. Moreover, if the map extends continuously to the boundary of the annulus and both boundary components are either attracting or repelling, the hypothesis on the existence of the invariant continuum is no longer needed for obtaining all the periodic points in the interior of the annulus.

研究の動機と目的

• 開アニュラスの連続的かつ次数 d の自己写像が、周期的点に対して最大のニールセンクラス完全性を達成する条件を特定すること。
• すべてのニールセンクラスの周期的点が、不変な本質的コンパクト集合のフィルダード集合に実現される条件を確立すること。
• 被覆写像に限らない一般の連続的かつ全射的な写像に対しても、完全性の結果を拡張すること。
• 境界の振る舞い（吸引的／反発的エンド）が、不変コンパクト集合を仮定しないでも完全性を保証する役割を果たすかを分析すること。
• 球面写像に対してアニュラル分解を適用し、成長率の不等式や周期的点の個数を強制すること。

提案手法

• ホモトピー同値性による固定点の分類を通じて、ニールセン理論を用い、異なるニールセンクラスが異なる周期的軌道に対応することを保証する。
• 不変集合を囲む曲線におけるインデックス計算を通じて、リスキッツ固定点理論を応用し、各ニールセンクラスに固定点が存在することを証明する。
• カラテオドリ理論を用いて、ユニバーサル被覆空間において、制御されたホモトピー性質を持つクロスカットおよび曲線を構成する。
• 写像をユニバーサル被覆空間（R × [0,1]）に上げ、その上でのインデックス解析を通じて、各ニールセンクラスに固定点が存在することを証明する。
• ユニバーサル被覆空間の両端に無限遠点を追加してコンパクト化し、エンドの振るまいを解析し、ハゴピアンの固定点定理を適用する。
• ホモトピーおよび変形技法を用いて、写像の上への持ち上げを修正し、完全性を満たすためにインデックス条件を満たすように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的かつ次数 d のアニュラス写像が、周期的点のニールセンクラスの最大数を達成する条件は何か？
• RQ2 本質的コンパクト集合を保存する非被覆写像に対しても、完全性を確立できるか？
• RQ3 不変コンパクト集合が前方不変で局所的に連結である場合、|d| > 1 かつ負の次数の場合でも完全性は保たれるか？
• RQ4 不変コンパクト集合を仮定しない場合、エンドの振るまい（吸引的／反発的エンド）から完全性を導けるか？
• RQ5 これらの結果をアニュラル分解を介して球面写像に応用し、成長率の不等式や周期的点の個数を強制する方法は何か？

主な発見

• f: A → A が完全に不変な本質的コンパクト集合 K を持つ次数 d > 1 の写像であるならば、f は Fill(K) 上で完全である。つまり、fⁿ のすべての |dⁿ − 1| 個のニールセンクラスが Fill(K) 内に実現される。
• |d| > 1 であり、前方不変で局所的に連結な本質的コンパクト集合 K が存在する場合、f は Fill(K) 上で完全である。f⁻¹(K) = K である必要はない。
• f がアニュラスの端に連続的に拡張可能であり、両端がともに吸引的またはともに反発的であるならば、f は不変コンパクト集合が存在しなくても、全体のアニュラス上で完全である。
• 完全性の結果から、成長率の不等式 lim supₙ→∞ (1/n) ln(#Fix(fⁿ)) ≥ ln|d| が、すべてのこのような写像に対して成り立つ。
• 球面写像 f: S² → S² が |d| > 1 の次数を持つ場合、周期2の完全に不変な軌道が存在するならば、すべての奇数 k に対して fᵏ は少なくとも |dᵏ − 1| 個の固定点を持つ。
• f: S² → S² が二つの互いに素で単連結な開集合 U₁, U₂ を保存し、f⁻¹(Uᵢ) = Uᵢ であるならば、f は S¹ 上の zᵈ ほど多くの周期的点を持つ。つまり、各 n に対して |dⁿ − 1| 個の周期的点を持つ。