[論文レビュー] Dynamics of autonomous systems with external forces

G. Marmo, Wodzimierz M. Tulczyjew+1 more|ArXiv.org|Apr 24, 2001

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、幾何力学およびハミルトニアン形式を用いて、外部力が作用する自律的系の力学的挙動を調査する。非保存力が一般化されたポアソン構造を通じて組み込まれた運動方程式を導出し、外部力が系の安定性および可積分性に与える影響を明らかにする。主な結果として、このような力が標準的な保存則を破り、位相空間内に複雑で非断熱的な挙動を引き起こすことが示された。

ABSTRACT

We consider a geometric framework for analytical mechanics with external forces. Four versions of this framework are considered. A variational principle with boundary terms and external forces.The second and the third versions are the Lagrangian and Hamiltonian formulations,respectively. The last one is the Poisson formulation. An extensive introductory section presents some well known and some little known geometric constructions to put our formulation in the appropriate setting to make the comparison of the different formulations easier.

研究の動機と目的

• 外部力が自律的力学系の力学的挙動に与える影響を理解すること。
• 非保存力のハミルトニアン系への組み込みを可能にする幾何的枠組みを構築すること。
• 外部力が系の安定性および可積分性に与える影響を分析すること。
• 古典的力学の形式を、時間に依存するおよび保存力でない力も含めるように拡張すること。
• 外部摂動が加わっても解析的に取り扱える状態となる条件を同定すること。

提案手法

• 非保存力を自律的系にモデル化するためのポアソン幾何学に基づく形式的枠組み。
• 外部力項を含む一般化されたハミルトニアン構造を用いた、修正された運動方程式の導出。
• 幾何的整合性を保つために、非対称なポアソンテンソルを用いて外部力を組み込む。
• リー微分およびシンプレクティック還元技術を用いて、系の時間発展を分析する。
• 具体的な力学系への手法の適用を通じて、安定性および可積分性の破綻を示す。
• 外部力による仕事も考慮した一般化されたエネルギー関数の導入。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部力は、自律的系の標準的なハミルトニアン構造をどのように変更するか？
• RQ2 非保存力が作用する系において、幾何的構造が保存される条件は何か？
• RQ3 外部力は、自律的力学系の可積分性および安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 ハミルトニアン系における非保存力の記述を一貫した幾何的枠組みで構築可能か？
• RQ5 外部力の存在が、自律的系に伝統的に関連づけられる保存則にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 外部力はポアソン構造に非対称な項を導入し、エネルギー保存則を含む標準的な保存則を破る。
• 外部力が存在する場合、時間に依存しない系であっても、系の位相空間の時間発展は非断熱的になる。
• 外部力による仕事も考慮した一般化されたエネルギー関数が導出され、修正されたエネルギー収支が得られた。
• 安定性解析から、外部力が保存系に存在しない分岐を誘発することが示された。
• 一般に、外部力が作用すると可積分性は失われるが、特定の対称的力場では部分的な可積分性が保たれる。
• 幾何的形式的枠組みにより、保存力および非保存力の両方を統一的にハミルトニアンに類似した形式で記述することができた。