[論文レビュー] Dynamics of groups of automorphisms of character varieties and Fatou/Julia decomposition for Painlevé 6

Julio C. Rebelo, Roland K. W. Roeder|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2021

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アフィンな立方曲面によって定義されるキャラクター多様体上の正則自己同型群の力学を、Painlevé 6方程式に注目して研究する。群作用に対してFatou-Julia分解を導入し、ジュリア集合が非自明な内部を持ち、かつ帰結的軌道を含むことを証明するとともに、パラメータ空間の開集合において、局所的離散的でない動的挙動と離散的である動的挙動の二分法が成り立つことを示している。

ABSTRACT

We study the dynamics of the group of holomorphic automorphisms of the affine cubic surfaces \begin{align*} S_{A,B,C,D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3 \, : \, x^2 + y^2 + z^2 +xyz = Ax + By+Cz+D\}, \end{align*} where $A,B,C,$ and $D$ are complex parameters. We focus on a finite index subgroup $Γ_{A,B,C,D} < { m Aut}(S_{A,B,C,D})$ whose action not only describes the dynamics of Painlevé 6 differential equations but also arises naturally in the context of character varieties. We define the Julia and Fatou sets of this group action and prove that there is a dense orbit in the Julia set. In order to show that the Julia set is ``large'' we consider a second dichotomy, between locally discrete and locally non-discrete dynamics. For an open set in parameter space, $\mathcal{N} \subset \mathbb{C}^4$, we show that there simultaneously exists an open set in $S_{A,B,C,D}$ on which $Γ_{A,B,C,D}$ acts locally discretely and a second open set in $S_{A,B,C,D}$ on which $Γ_{A,B,C,D}$ acts locally non-discretely. After removing a countable union of real-algebraic hypersurfaces from $\mathcal{N}$ we show that $Γ_{A,B,C,D}$ simultaneously exhibits a non-empty Fatou set and also a Julia set having non-trivial interior. The open set $\mathcal{N}$ contains a natural family of parameters previously studied by Dubrovin-Mazzocco. The interplay between the Fatou/Julia dichotomy and the locally discrete/non-discrete dichotomy plays a major theme in this paper and seems bound to play an important role in further dynamical studies of holomorphic automorphism groups.

研究の動機と目的

• Painlevé 6方程式に関連するキャラクター多様体上の正則自己同型群のグローバルな力学を分析すること。
• 群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ がアフィンな立方曲面 $S_{A,B,C,D}$ 上に作用する場合のFatou集合およびジュリア集合を定義し、特徴づけること。
• パラメータ空間において、Fatou/ジュリア二分法と局所的離散的／非離散的動的挙動の二分法の相関関係を調査すること。
• パラメータのフル次元な開集合に対して、Fatou集合およびジュリア集合が非空であり、かつジュリア集合が非自明な内部を持つことを示すこと。
• ジュリア集合内に帰結的軌道が存在することを証明し、この集合上でカオス的力学が生じることを示すこと。

提案手法

• 群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D} = \langle g_x, g_y, g_z \rangle$ を、$s_x, s_y, s_z$ が座標軸に平行な直線によって定義される対合である $\mathrm{Aut}(S_{A,B,C,D})$ の指数2部分群として定義する。
• 群作用における正規族の挙動を示す点の集合としてFatou集合 $\mathcal{F}_{A,B,C,D}$ を定義し、その補集合としてジュリア集合 $\mathcal{J}_{A,B,C,D}$ を定義する。
• 局所的離散的および非離散的動的挙動の概念を用いて、群の作用が異なる挙動を示す領域を特定する第二の二分法を定義する。
• 局所的離散的および非離散的動的挙動の領域の共通境界として、位相次元3の不変集合 $\mathscr{B}_{A,B,C,D}$ を構成する。
• 定理Hを適用し、原点付近またはDubrovin-Mazzoccoパラメータ付近のパラメータに対して、群の生成元の一部の交換子が双曲的かつ収縮性条件を満たすことを示し、これにより表面内の球が非有界なFatou成分を避けることを保証する。
• パラメータ空間 $\mathcal{P} \subset \mathbb{C}^4$ から可算個の実代数的超曲面の合併を除くことで、Fatou集合が非空であり、かつジュリア集合が非自明な内部を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータが一般の場合に、群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ が $S_{A,B,C,D}$ 上に作用する際に、非自明な内部を持つ非空のジュリア集合を有するか？
• RQ2 ジュリア集合が群作用のもとで帰結的軌道を含むことは可能か？
• RQ3 パラメータ空間において、Fatou/ジュリア二分法と局所的離散的／非離散的動的挙動の二分法はどのように相互作用するか？
• RQ4 離散的および非離散的動的挙動の領域の境界の位相的構造は何か？
• RQ5 Markoff、Picard、およびDubrovin-Mazzocco族のような特別なパラメータ付近では、力学はどのように振る舞うか？

主な発見

• パラメータ空間 $\mathcal{P} \subset \mathbb{C}^4$ の開集合に対して、群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ は $S_{A,B,C,D}$ の開部分集合上で局所的離散的および非離散的両方の動的挙動を示し、それらの共通境界には位相次元3の不変集合 $\mathscr{B}_{A,B,C,D}$ が含まれる。
• パラメータ空間 $\mathcal{P}$ から可算個の実代数的超曲面の合併を除いた後、群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ は非空のFatou集合および非自明な内部を持つジュリア集合を有する。
• ジュリア集合 $\mathcal{J}_{A,B,C,D}$ には帰結的軌道が含まれており、この集合上でカオス的力学が生じることを示唆している。
• 原点付近およびDubrovin-Mazzoccoパラメータ付近では、生成子の一部の交換子の力学が、$S_{A,B,C,D}$ 内の球が非有界なFatou成分を避けることを保証する条件を満たす。
• 群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ は、$\mathcal{P} \setminus \mathcal{H}$ に属するすべてのパラメータに対して、開集合 $U$ において局所的に非離散的に作用し、これにより $U \subset \mathcal{J}_{A,B,C,D}$ が保証される。
• Fatou/ジュリア二分法と離散的／非離散的二分法の相互作用は、力学の中心的役割を果たしており、複素曲面上の正則自己同型群の今後の研究において重要な役割を果たすことが期待される。