[論文レビュー] Dynamics of Irreducible Endomorphisms of $F_n$

Patrick Reynolds|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は自由群 $F_n$ の非全射な既約自己準同型を研究し、それらがコンパクト化されたアウター空間 $\overline{CV}_n$ 上で「シンク」ダイナミクスを示すことを示している：一意の吸引固定点 $[T_\phi]$ が存在し、その点では反復 $\phi^k$ がコンパクト集合上で一様に $[T_\phi]$ に収束する。ダイナミクスは不変長さ測度とアウター空間の境界における木の新規な分解を用いて分析され、イマシの定理を一般化し、非可逆自己準同型へのトレイントラック技法を拡張する。

ABSTRACT

We consider the class non-surjective irreducible endomorphisms of the free group $F_n$. We show that such an endomorphism $ϕ$ is topologically represented by a simplicial immersion $f:G ightarrow G$ of a marked graph $G$; along the way we classify the dynamics of $\partial ϕ$ acting on $\partial F_n$: there are at most $2n$ fixed points, all of which are attracting. After imposing a necessary additional hypothesis on $ϕ$, we consider the action of $ϕ$ on the closure $\bar{CV}_n$ of the Culler-Vogtmann Outer space. We show that $ϕ$ acts on $\bar{CV}_n$ with "sink" dynamics: there is a unique fixed point $[T_ϕ]$, which is attracting; for any compact neighborhood $N$ of $[T_ϕ]$, there is $K=K(N)$, such that $\bar{CV}_nϕ^{K(N)} \subseteq N$. The proof uses certian projections of trees coming from invariant length measures. These ideas are extended to show how to decompose a tree $T$ in the boundary of Outer space by considering the space of invariant length measures on $T$; this gives a decomposition that generalizes the decomposition of geometric trees coming from Imanishi's theorem.

研究の動機と目的

• 逆が存在しない状況下で、$F_n$ の非全射な既約自己準同型のダイナミカルな挙動を理解すること。
• 自己準同型からアウター空間およびトレイントラック技法を非可逆自己準同型へと拡張すること。
• このような自己準同型がアウター空間の境界 $\overline{CV}_n$ 上でどのように作用するかを分類すること。
• 不変長さ測度を用いた $\overline{cv}_n$-木の分解を構築し、イマシの定理を一般化すること。

提案手法

• マーク付きグラフ $G$ 上での単体的埋め込み $f: G \to G$ を用いて自己準同型 $\phi$ を表現し、そのダイナミクスを捉える。
• アウター空間 $\overline{CV}_n$ 上での作用が適切に定義されるように、『許容的』な自己準同型の概念を導入する。
• 不変長さ測度 $\mu \in M_0(T)$ を用いて、木 $T$ をより単純な混合作用へと射影し、標準的な分解を構成する。
• エルゴード測度の同値類 $[[\mu]]$ を定義し、測度空間の次元が減少するような射影の階層 $f_{[[\mu]]}: T \to T_{[[\mu]]}$ を構築する。
• 繰り返しの作用の図式構成を用いて、元の木 $T$ をその横断的族 $\mathscr{F}(T)$ から回復する。
• 自己準同型 $\phi$ が $\overline{CV}_n$ 上で一意の吸引固定点 $[T_\phi]$ を持ち、反復 $\phi^k$ がコンパクト集合上で一様に $[T_\phi]$ に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆が存在しない非全射な既約自己準同型 $\phi$ は、コンパクト化アウター空間 $\overline{CV}_n$ 上でどのように作用するか？
• RQ2 境界 $\partial F_n$ における $\partial\phi$ の作用の構造は何か？ また、固定点はいくつ存在するか？
• RQ3 自己準同型 $\phi$ の $\overline{CV}_n$ 上でのダイナミクスは、一意の吸引固定点を持つ『シンク的』なものと特徴付けられるか？
• RQ4 木 $T \in \overline{cv}_n$ 上の不変長さ測度の空間を用いて、$T$ を混合作用の階層へとどのように分解できるか？
• RQ5 $M_0(T)$ を用いた $T$ の分解は、幾何的木に関するイマシの定理をどの程度一般化するか？

主な発見

• 任意の許容的で非全射な既約自己準同型 $\phi$ に対して、$\overline{CV}_n$ 上での作用は一意の固定点 $[T_\phi]$ を持ち、その点は自由かつ単体的である。
• 自己準同型 $\phi$ は「シンク」ダイナミクスを示す：任意の $[T_\phi]$ のコンパクト近傍 $N$ に対して、ある $K(N)$ が存在し、$\overline{CV}_n \phi^K \subseteq N$ が成り立つ。
• 安定木 $[T_\phi]$ は $[T_\phi]\phi = [T_\phi]$ を満たし、$T_\phi$ は自由単体的 $F_n$-木である。
• 不変長さ測度空間 $M_0(T)$ は、任意の $T \in \overline{cv}_n$ に対して、稠密な軌道を持つものについて、射影 $f_{[[\mu]]}$ を通じた混合作用の階層への標準的分解を誘導する。
• この分解はイマシの定理を一般化する：任意の $T \in \overline{cv}_n$ に対して、横断的族 $\mathscr{F}(T)$ を用いて、繰り返しの作用の図式を用いて $T$ を再構成可能である。
• 任意の $C > 1$ に対して、$F_n$ の有限生成で非アーベルな部分群 $H \leq F_n$ が存在し、すべての非自明な $h \in H$ およびすべての $T, T' \in \overline{cv}_n$ に対して $l_T(h) > C \cdot l_{T'}(h)$ が成り立つ。これは $\phi^k(F_n)$ の強い剛性を反映している。