[論文レビュー] Dynamics of Large Boson Systems with Attractive Interaction and a Derivation of the Cubic Focusing NLS in $\mathbb{R}^3$

Jacky J. Chong|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 50被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、三次元における引力的相互作用を有する大規模ボソン系について、平均場理論および2次補正結果を拡張し、$0 < \beta < \frac{1}{3}$ の範囲で、Fock空間ノルム近似およびPicklの手法を用いて、多体シュレーディンガー方程式から立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の焦点化型を導出する。収束速度を確立し、引力的相互作用およびコherent初期状態への一般化を含む、先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We consider a system of $N$ bosons where the particles experience a short range two-body interaction given by $N^{-1}v_N(x)=N^{3β-1}v(N^βx)$ where $v \in C^\infty_c(\mathbb{R}^3)$, without a definite sign on $v$. We extend the results of M. Grillakis and M. Machedon, Comm. Math. Phys., $ extbf{324}$, 601(2013) and E. Kuz, Differ. Integral Equ., $ extbf{137}$, 1613(2015) regarding the second-order correction to the mean-field evolution of systems with repulsive interaction to systems with attractive interaction for $0

研究の動機と目的

• 引力的相互作用を有する大規模ボソン系における2次補正結果を、反発的系に限らない範囲に拡張すること、特に $0 < \beta < \frac{1}{2}$ の範囲で行う。
• 多体シュレーディンガー方程式から、$\mathbb{R}^3$ における立方焦点化非線形シュレーディンガー方程式（NLS）を引力的相互作用に対して導出すること。
• $0 < \beta < \frac{1}{3}$ の範囲で、多体力学から平均場極限への収束速度を提供し、先行研究が $\beta < \frac{1}{6}$ に限られていたのを拡張すること。
• 初期データを、因子化された状態や基底状態に類する状態に限らず、コherent状態を含むより広いクラスに一般化することにより、平均場導出の適用範囲を拡大すること。
• 焦点化NLSの導出を、$N$-ノルム近似に基づく方法とPicklの手法の両方で独立して行い、結果の一貫性を確認すること。

提案手法

• スケーリングされた2体相互作用 $N^{-1}v_N(x) = N^{3\beta-1}v(N^\beta x)$ を持つ多体ハミルトニアンを用いる。ここで $v \in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$ である。
• Fock空間技法および第二量子化形式を用いて、$N$-体ボソン系の力学を分析する。
• Strichartz推定および $L^p$-型の境界を用いて、平均場近似における誤差項を制御する。
• NamとNapiórkowskiの $N$-ノルム近似法を用いて、$\mathbb{R}^3$ における焦点化NLSを導出する。
• Picklの射影法を組み込むことで、焦点化NLSの別導出を提供し、結果の頑健性を保証する。
• Fock空間における発展作用素 $\mathcal{L}$ に対して一様な境界を確立し、$\|\mathcal{L}X\|_{\mathcal{F}} \leq \frac{C}{1+t^3}\|X\|_{\mathcal{F}}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < \beta < \frac{1}{2}$ の範囲で、引力的相互作用を有する系において、平均場発展に対する2次補正を拡張することは可能か？
• RQ2 $\mathbb{R}^3$ における立方焦点化NLSは、引力的相互作用を有する多体シュレーディンガー方程式から導出可能か？
• RQ3 $0 < \beta < \frac{1}{3}$ の範囲で、多体力学から焦点化NLSへの収束速度は何か？
• RQ4 導出を、基底状態に類する状態に限らず、コherent初期状態を含むように拡張できるか？
• RQ5 $N$-ノルム近似法とPicklの射影法という2つの独立した導出法が、三次元における焦点化NLSに対して一貫した結果をもたらすか？

主な発見

• 本稿は、$0 < \beta < \frac{1}{3}$ の範囲で、多体シュレーディンガー方程式から、$\mathbb{R}^3$ における立方焦点化NLSを導出する。これは、先行研究が $\beta < \frac{1}{6}$ に限られていたのを拡張する。
• 平均場極限への収束速度が確立され、誤差境界が $\frac{C}{N}$ のスケーリングに従うことが示され、$N$-ノルム近似フレームワークと整合的である。
• 導出は、因子化された状態や基底状態に類する状態に限らず、コherent状態を含むより広い初期状態のクラスに対して有効である。
• 焦点化NLSの導出が、$N$-ノルム近似に基づく方法とPicklの手法の両方で独立して提供され、結果の一貫性が確認された。
• 引力的相互作用に対する2次補正が、$0 < \beta < \frac{1}{2}$ の範囲にまで拡張され、先行研究が反発的相互作用に限られていたのを一般化した。
• Fock空間における発展作用素 $\mathcal{L}$ に対して一様な境界が証明され、$\|\mathcal{L}X\|_{\mathcal{F}} \leq \frac{C}{1+t^3}\|X\|_{\mathcal{F}}$ を示し、平均場近似の安定性を支持する。