[論文レビュー] Dynamics of meromorphic maps with small topological degree II: Energy and invariant measure

Jeffrey Diller, Romain Dujardin+1 more|ArXiv.org|May 25, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカーラー多様体上のメロモルフィック写像に対して、小規模なトポロジカル次数（$\lambda_2 < \lambda_1$）を有する場合に、帰納的で混合的である不変測度の存在を示し、不変カレント $T^+$ と $T^-$ の幾何的ウェッジ積を用いてそれを構築する。さらに、自然なエネルギー条件のもとで、この測度が適切に定義されており、多価的集合に質量を割り当てないことを証明する。

ABSTRACT

We continue our study of the dynamics of meromorphic mappings with small topological degree on a compact Kähler surface $X$. Under general hypotheses we are able to construct a canonical invariant measure which is mixing, does not charge pluripolar sets and admits a natural geometric description. Our hypotheses are always satisfied when $X$ has Kodaira dimension zero, or when the mapping is induced by a polynomial endomorphism of $\mathbf{C}^2$. They are new even in the birational case. We also exhibit families of mappings where our assumptions are generically satisfied and show that if counterexamples exist, the corresponding measure must give mass to a pluripolar set.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー多様体上の小規模なトポロジカル次数を有するメロモルフィック写像に対して、$\mu_f = T^+ \wedge T^-$ として普遍的不変測度を定義すること。
• 自然なエネルギーおよび可積分性条件の下で、この測度が不変的で混合的であり、幾何的に意味を持つことの確立。
• ウェッジ積 $T^+ \wedge T^{-}$ が適切に定義された確率測度として存在することを保証する、検証可能な力学的基準の提供。
• このような測度の存在に反する反例は、必ず多価的集合に質量を持つ必要があることの示唆。
• 既知の双有理写像に関する結果を、小規模なトポロジカル次数を有するより広いクラスの写像へ一般化し、特に双有理の場合ですら新たな結果を導出する。

提案手法

• もし $T_j^\pm \to T^\pm$ が多価的感度において収束するならば、$T_j^+ \wedge T_j^- \to \mu_f$ となる連続性の要請に基づき、ウェッジ積 $T^+ \wedge T^{-}$ を定義する。
• エネルギー条件 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$ が $p > 1$ に対して成り立つことを見ることで、$\mu_f$ の存在を十分条件として得る。
• 特にグェジュとツェリアヒのコンパクトなカーラー幾何における複素マソン＝アーマーレ作用素に関する研究を含む、多価的ダイナミクスの理論を応用する。
• 不変測度 $\mu_f$ を、$T^+$ のラミナール構造と $T^-$ のウェーブン構造の幾何的交差として特徴付ける。
• 具体的な写像族（例えば $\mathbb{P}^2$ 上の有理写像）のダイナミクスを分析し、グリーン関数のポテンシャル的推定を用いてエネルギー条件を検証する。
• 連分数近似と球面上のグリーン関数の平均値推定を用い、特定の無理数的回転数に対して $G^\pm \in \mathcal{E}^p(T^\mp, \omega^\pm)$ が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変カレントのウェッジ積 $T^+ \wedge T^-$ が、うまく定義された確率測度として定義可能となる条件は何か？
• RQ2 得られる測度 $\mu_f$ が不変性や混合性といった良好な力学的性質を有するのはいつか？
• RQ3 エネルギー条件 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$ が $p > 1$ に対して成り立つことを保証する力学的基準は何か？
• RQ4 不変測度 $\mu_f$ は、$T^+$ と $T^-$ のラミナール構造とウェーブン構造の交差として幾何的に解釈可能か？
• RQ5 このような測度の存在に反する反例は存在するか？もし存在するなら、それらは多価的集合に質量を持つ必要があるか？

主な発見

• エネルギー条件 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$ が $p > 1$ に対して成り立つとき、普遍的不変測度 $\mu_f = T^+ \wedge T^{-}$ は確率測度として適切に定義される。
• 測度 $\mu_f$ は $f$ に関して不変的で、混合的であり、多価的集合に質量を割り当てない。
• 双有理写像で $\lambda_1 > 1$ の場合、同じエネルギー条件のもとで測度 $\mu_f$ は適切に定義され、良好な力学的性質を有する。
• 有理写像で $\mathbb{P}^2$ 上の不変直線に無理数的回転数を持つ場合、ほとんどすべてのパラメータに対して $G^\pm \in \mathcal{E}^p(T^\mp, \omega^\pm)$ が成り立ち、$\mu_f$ の存在が保証される。
• もし $T^+ \in L^1(T^-)$ ならば、測度 $\mu_f$ は適切に定義され、例 $a = i$, $b = -s e^{2\pi i\theta}$, $c = i/s$ のように、混合的であることが示せる。
• 定理2.3の代替案は、$\mu_f$ が多価的集合 $\{G^+ + G^- = -\infty\}$ に台を持つ、あるいは $f$ が有限のダイナミカルエネルギーを持つ — 後者は一般に成り立つと予想される。