[論文レビュー] Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants

A. M. Vershik|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、測度を保存する群作用における一般化された不変量としてのスケーリングエントロピーを導入し、従来の可測分割の代わりにケンタロビッチ距離による反復的距離を用いる。スケーリングエントロピーが漸近的な幾何的複雑性を捉えることを確立し、特にℤ^d 上のランダム環境におけるランダムウォークにおいて、スケーリングエントロピーが n^{d/2} の割合で増加することを示しており、d > 4 の場合にすべての系がベルヌーイ的であっても、非同型なフィルトレーションを区別できる。

ABSTRACT

We discuss the Kolmogorov's entropy and Sinai's definition of it; and then define a deformation of the entropy, called {\it scaling entropy}; this is also a metric invariant of the measure preserving actions of the group, which is more powerful than the ordinary entropy. To define it, we involve the notion of the $ε$-entropy of a metric in a measure space, also suggested by A. N. Kolmogorov slightly earlier. We suggest to replace the techniques of measurable partitions, conventional in entropy theory, by that of iterations of metrics or semi-metrics. This leads us to the key idea of this paper which as we hope is the answer on the old question: what is the natural context in which one should consider the entropy of measure-preserving actions of groups? the same question about its generalizations--scaling entropy, and more general problems of ergodic theory. Namely, we propose a certain research program, called {\it asymptotic dynamics of metrics in a measure space}, in which, for instance, the generalized entropy is understood as {\it the asymptotic Hausdorff dimension of a sequence of metric spaces associated with dynamical system.} As may be supposed, the metric isomorphism problem for dynamical systems as a whole also gets a new geometric interpretation.

研究の動機と目的

• エルゴディック理論におけるエントロピーおよびその一般化のための自然な幾何的枠組みの欠如に対処すること。
• 可測分割の代わりに反復的距離をエントロピー不変量を定義する基礎として用いること。
• 特にゼロエントロピーを持つ系に対して、コルモゴロフエントロピーよりも強力な不変量としてスケーリングエントロピーを確立すること。
• 漸近的ダイナミクスに基づく距離の動的性質を通じて、メトリック同型問題の幾何的解釈を提供すること。
• 特にランダム環境におけるランダムウォークの文脈で、距離反復から導かれる漸近的不変量を用いて、フィルトレーションおよび力学系を分類すること。

提案手法

• コルモゴロフの先行概念に基づき、測度付き距離空間のεエントロピーを定義し、スケーリングエントロピーの基礎を築く。
• 初期の許容可能な距離ρから出発し、部分集合の条件付き測度間のケンタロビッチ距離を用いて、半距離の列{ρₙ}を構成する。
• この距離列のダイナミクスを用いて、漸近的不変量（例：スケーリングエントロピー）を抽出し、系の長期的幾何的挙動を反映させる。
• 特に、独立同分布のベルヌーイ環境を持つℤ^d 上のランダムウォークに由来するフィルトレーションに対して、反復的距離構成を適用する。
• 距離列の漸近的挙動を解析し、標準性を特定する：距離列が退化した距離に収束するならば、フィルトレーションは標準的（すなわちベルヌーイ的）である。
• d次元格子に対してn^{d/2}に同値な列{cₙ}を用いてスケーリングエントロピーを正規化し、群の成長と幾何的スケーリングを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック理論におけるエントロピーおよびその一般化を定義するための自然な幾何的枠組みとは何か？
• RQ2 測度空間における距離のダイナミクスは、どのようにエントロピー理論の基礎として可測分割の代わりに機能するか？
• RQ3 系がベルヌーイ的であっても、スケーリングエントロピーは非同型なフィルトレーションを区別できるか？
• RQ4 ℤ^d 上のランダムウォーク過程における反復的距離列の漸近的挙動は何か？
• RQ5 ランダムウォークのフィルトレーションにおける正規化列{cₙ}の増加率は、格子の次元dとどのように関係するか？

主な発見

• スケーリングエントロピーは、コルモゴロフエントロピーよりも強力な不変量であり、ゼロエントロピーを持つ系を区別できる。
• 反復的距離列{ρₙ}が退化した距離に収束するための必要十分条件は、フィルトレーションが標準的（すなわちベルヌーイ的）であることである。これは、標準性の幾何的基準を提供する。
• ℤ^d 上のランダム環境におけるランダムウォークにおいて、スケーリングエントロピーはn^{d/2}の割合で増加し、正規化列{cₙ}はn^{d/2}に同値である。
• d > 4 であっても、異なる次元dにおけるℤ^d 上のランダムウォークの「過去」のフィルトレーションは、非同型である。
• この結果は、異なる次元の格子におけるマルコフシフトが、すべてd > 4 でベルヌーイ的であっても、互いに可逆的に符号化できないことを示唆する。
• 距離の漸近的ダイナミクスは、メトリック同型問題の幾何的解釈を提供し、極限距離空間のハウスドルフ次元と結びつける。