[論文レビュー] Dynamics of piecewise translation maps

Sang Truong|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間上の一般化された区分的平行移動写像を導入し、有限型ダイナミクスとアトラクターの挙動に焦点を当てる。アトラクターが有限型であるための条件を確立し、特に m = d+1 の場合に、翻訳ベクトルに関してアトラクターの半連続性を予想する。また、2次元トーラス上の二重回転写像についても、有限型挙動とアトラクター安定性の数値的証拠を検討する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a generalized piecewise translation map on the Euclidean space. We provide a special case when this map is always of finite type. For a finite type map in this case, we form conjectures on the semi-continuity of the attractor. Moreover, we also provide some conjectures and pictures on piecewise translations on a two dimensional torus.

研究の動機と目的

• コンパクトな部分集合 X ⊂ R^d を持つ Ω の部分集合に対して、m 個の分岐を持つ一般化された区分的平行移動写像を定義・分析すること。
• 特に m = d+1 の場合に、写像が有限型であるための条件を調査すること。
• 翻訳ベクトルの摂動に対して、アトラクターの半連続性を研究すること。
• 2次元トーラス上の二重回転写像を検討し、数値シミュレーションを用いて有限型／無限型分類を行うこと。
• トーラス上での有限型二重回転写像のパラメータ集合が、全測度、開集合、および稠密であると予想すること。

提案手法

• Ω ⊂ R^d のコンパクト部分集合の空間 X を定義し、m 個の翻訳ベクトル v_i を用いて、領域 B_i に分割された部分集合上で定義される区分的平行移動写像 F: X → X を定義する。
• F^n(Ω) がコンパクト集合の非増加な入れ子構造をなすことに基づき、アトラクターを A = ⋂_{n=1}^∞ F^n(Ω) と定式化する。
• コンパクト集合の交わりと像写像に関する補題を用いて、F によるアトラクターの不変性を確立する。
• アトラクターの内部に到達するまでの反復回数が一様に有界であれば、写像が有限型であることを証明する。
• 2次元ディスク上での区分的平行移動写像および2次元トーラス上での二重回転写像のアトラクターを可視化するための数値的シミュレーションを実施する。
• パラメータ近傍と像の伝播を分析することで、ハウスドルフ距離に関してアトラクターの半連続性を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的平行移動写像が有限型である条件は何か。特に m = d+1 の場合に限って。
• RQ2 有限型区分的平行移動写像のアトラクターは、翻訳ベクトルの摂動に関して半連続的か。
• RQ3 2次元トーラス上での二重回転写像は、ほとんどすべてのパラメータ値に対して有限型挙動を示すか。
• RQ4 トーラス上での二重回転写像のアトラクターは、翻訳ベクトルのパラメータ空間において半連続的か。
• RQ5 有限型領域において、アトラクターは連続的（単なる半連続性ではなく）にパラメータに依存するか。

主な発見

• A = ⋂_{n=1}^∞ F^n(Ω) として定義されるアトラクターは、常に非空かつコンパクトであり、写像 F に関して不変である。
• F^n(Ω) がアトラクターの内部に到達するまでの反復回数が一様に有界であれば、写像は有限型である。
• 数値的結果により、2次元ディスク上での区分的平行移動写像は、わずか8反復でアトラクターに収束することが示され、有限型挙動を示している。
• 2次元トーラス上での二重回転写像では、シミュレーションにより有限型写像が安定しており、500反復でアトラクターに到達することが示唆されている。
• 一方、一部の二重回転写像は5000反復経過しても収束せず、無限型挙動の可能性が示唆されている。
• 著者らは、トーラス上での有限型パラメータ集合が開かつ稠密であり、全測度を占めるものであると予想しており、これは一般に成立する有限型ダイナミクスを支持する。