[論文レビュー] Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups

Hiroki Sumi|ArXiv.org|Mar 20, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、有界な平面的後期臨界集合をもつ多項式半群の力学的挙動を調査し、ジュリア集合の連結成分がネスト構造によって順序付けられることを確立するとともに、任意の有限または可算無限個の成分をもつ例を構成している。非連結なジュリア集合において非可算無限個のクライスラー曲線が存在することを証明し、ランダムなジュリア集合がほとんど確実にジョードン曲線であるがクライスラー曲線ではないことを示しており、古典的リーマン写像とは異なる新たな現象を明らかにしている。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of semigroups generated by a family of polynomial maps on the Riemann sphere such that the postcritical set in the complex plane is bounded. Moreover, we investigate the associated random dynamics of polynomials. We show that for such a polynomial semigroup, if $A$ and $B$ are two connected components of the Julia set, then one of $A$ and $B$ surrounds the other. Moreover, we show that for any $n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$ there exists a finitely generated polynomial semigroup with bounded planar postcritical set such that the cardinality of the set of all connected components of the Julia set is equal to $n.$ Furthermore, we show that under a certain condition, a random Julia set is almost surely a Jordan curve, but not a quasicircle. Many new phenomena of polynomial semigroups and random dynamics of polynomials that do not occur in the usual dynamics of polynomials are found and systematically investigated.

研究の動機と目的

• 有界な平面的後期臨界集合をもつ多項式半群のジュリア集合の位相的構造を分析すること。
• 非連結なジュリア集合におけるファイバーごとの力学的挙動と準正則的構造を調査すること。
• 有界な後期臨界集合をもつ、コンパクト生成で（半）双曲的である多項式半群を分類すること。
• 多項式のランダム力学を研究し、ランダムなジュリア集合のほとんど確実な性質を特定すること。
• ジュリア集合の連結成分の任意の指定された濃度をもつ多項式半群の例を構成すること。

提案手法

• ファイバー束上で一様なファイバーごとの準正則的手術を用いて、ジュリア集合が非連結である場合に非可算無限個の互いに素なクライスラー曲線を構成する。
• 位相的補題と有理関数半群の性質を適用して、ジュリア集合内の連結成分の周囲いの順序を分析する。
• 後退的自己相似性とコンパクトネスの議論を用いて、後期臨界集合の構造とジュリア集合との関係を研究する。
• 関数の合成と正規族を用いて、半群の力学的挙動と双曲的条件を分析する。
• 制御された臨界値と力学的挙動をもつ多項式の明示的族を構成し、望ましいジュリア集合の構造を実現する。
• テイコミュラー理論とランダム力学系の結果を活用して、ランダムなジュリア集合のほとんど確実な性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後期臨界が有界な多項式半群のジュリア集合の連結成分は、どのように位相的に順序付けられているか？
• RQ2 任意の有限または可算無限個の連結成分をもつ多項式半群を構成できるか？
• RQ3 ジュリア集合が非連結である場合、その構造はどのようなものか？ また、その中にどのような準正則的構造が存在するか？
• RQ4 どのような条件下で、ランダムなジュリア集合がほとんど確実にジョードン曲線であるがクライスラー曲線ではないか？
• RQ5 有界な平面的後期臨界集合をもつ、コンパクト生成で（半）双曲的である多項式半群はどのように分類されるか？

主な発見

• 後期臨界が有界な多項式半群のジュリア集合の任意の2つの連結成分について、一方が他方を囲むことが保証され、全囲い順序が成立する。
• $ n \in \mathbb{N} \cup \{\aleph_0\} $ に対して、常にそのジュリア集合が正確に $ n $ 個の連結成分をもつ、有界な平面的後期臨界集合をもつ有限生成多項式半群が存在する。
• ジュリア集合が非連結である場合、カントール集合によってパrameter化され、一様な歪度をもつ非可算無限個の互いに素なクライスラー曲線が、ジュリア集合に稠密に埋め込まれている。
• 特定の条件下で、ランダムなジュリア集合はほとんど確実にジョードン曲線であるが、クライスラー曲線ではないことが示され、ランダム複素力学系における新たな現象が明らかになった。
• コンパクト生成で（半）双曲的である有界な平面的後期臨界集合をもつ多項式半群について、完全な分類が与えられた。
• 本稿は、個々の生成子が双曲的であっても、その半群のジュリア集合が非連結である可能性があることを示しており、古典的力学系には見られない新たな動的挙動を示している。