[論文レビュー] Dynamics of quantum phase transitions in Dicke and Lipkin-Meshkov-Glick models

A. P. Itin, Päivi Törmä|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2009

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、DyckとLipkin-Meshkov-Glick（LMG）モデルにおける量子相転移の非断熱的ダイナミクスを記述するために、Painlevé II（PII）超越関数を用いた半古典的アプローチを開発する。Wigner関数から得られる古典的軌道集合を、分岐点付近でPII方程式にマッピングすることで、普遍的な粒子分布を予測し、光子数のずれを用いて非断熱性を定量化する。この予測は、超低温原子系やキャビティQED装置における数値シミュレーションと整合している。

ABSTRACT

We consider dynamics of Dicke models, with and without counterrotating terms, under slow variations of parameters which drive the system through a quantum phase transition. The model without counterrotating terms and sweeped detuning is seen in the contexts of a many-body generalization of the Landau-Zener model and the dynamical passage through a second-order quantum phase transition (QPT). Adiabaticity is destroyed when the parameter crosses a critical value. Applying semiclassical analysis based on concepts of classical adiabatic invariants and mapping to the second Painleve equation (PII), we derive a formula which accurately describes particle distributions in the Hilbert space at wide range of parameters and initial conditions of the system. We find striking universal features in the particle distributions which can be probed in an experiment on Feshbach resonance passage or a cavity QED experiment. The dynamics is found to be crucially dependent on the direction of the sweep. The model with counterrotating terms has been realized recently in an experiment with ultracold atomic gases in a cavity. Its semiclassical dynamics is described by a Hamiltonian system with two degrees of freedom. Passage through a QPT corresponds to passage through a bifurcation, and can also be described by PII (after averaging over fast variables), leading to similar universal distributions. Under certain conditions, the Dicke model is reduced to the Lipkin-Meshkov-Glick model.

研究の動機と目的

• DyckおよびLMGモデルのような多体系における、量子相転移をゆっくりと通過するパラメータスイープ時の非断熱的ダイナミクスを記述すること。
• 断熱不変量とPainlevé方程式を介して、量子相転移と古典的分岐の間の関係を確立すること。
• 超低温原子およびキャビティQED実験における粒子分布および非断熱性の定量的かつ普遍的な記述を提供すること。
• PIIに基づく半古典的解析により、指数的遷移確率を代替するべきべき乗則スケーリングを用いて、Landau-Zenerモデルを多体系へ拡張すること。

提案手法

• 初期量子Wigner関数から古典的軌道集合を生成するための截断Wigner近似（TWA）の使用。
• ゆっくり変化するパラメータ下での古典的軌道の発展により、量子相転移を通過するダイナミクスを模擬すること。
• 等モノドロミー変形およびWKBに類似した漸近的手法を用いて、分岐点付近の非断熱的ダイナミクスを第二Painlevé方程式（PII）にマッピングすること。
• 光子数 $ \bar{n} $ などの時間平均観測量を、古典的軌道の作用 $ I $ に関連付けること。
• 時間平均観測量 $ \bar{n} $ と初期作用 $ I $ の間の線形関係を導出し、非断熱的ずれの定量化を可能にすること。
• TWA集合にわたる平均化により、平均光子数のずれ $ \Delta \bar{n} \propto \langle I \rangle $ を予測し、ここで $ \langle I \rangle $ はスイープ速度 $ \epsilon $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dyckモデルにおける2次相転移をゆっくりと通過する際、非断熱性はどのように現れるか？
• RQ2 反回転項を含むDyckモデルの分岐点付近のダイナミクスは、Painlevé II方程式で記述可能か？
• RQ3 パラメータスイープ後に現れる粒子分布にどのような普遍的特徴が現れ、実験的にどのように観測可能か？
• RQ4 スイープの方向が最終的な粒子分布および非断熱性に与える影響は何か？
• RQ5 断熱的消去により光子場を除いた場合、DyckモデルにおいてLMGモデルがどの程度有効モデルとして現れるか？

主な発見

• PIIマッピングに基づく半古典的アプローチは、Dyckモデルにおける広範なパラメータ範囲および初期条件において、粒子分布を正確に予測できる。
• 粒子分布に顕著な普遍的特徴が現れ、Feshbach共鳴実験やキャビティQED装置で観測可能である。
• 平均光子数 $ \bar{n} $ のずれはスイープ速度 $ \epsilon $ に対して非線形的であり、$ \Delta \bar{n} \propto \langle I \rangle $ で定量化され、ここで $ \langle I \rangle $ は $ \epsilon $ に対して対数的に依存する。
• パラメータ $ \delta\lambda_f = 0.03 $ の場合、$ N = 500 $ の緩やかなスイープにおいて、理論的予測とTWA数値結果が一致する。
• この手法により、非断熱性がスイープ方向に強く依存することが明らかになった。前向きスイープと逆向きスイープでは、異なるダイナミクスを示す。
• 反回転項を含むDyckモデルにおいて、断熱的消去の下でLMGモデルが有効モデルとして現れ、高速変数の平均化の後、PII方程式によってもそのダイナミクスが記述される。