[論文レビュー] Dynamics of regular birational maps in P^k

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Jun 18, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、複素射影空間 ℙ^k 上の正則な有理写像に対して、dd^c-分解技術を用いて双次数 (p,p) のグリーンコホロジーを構成することにより、均衡測度の存在および極値性を確立する。これらのコホロジーが極値的であり、それらのウェッジ積が混合性を持つ不変測度を定めることが証明され、多項式自己同型写像の結果が、小刻みに摂動された正則多項式自己同型を含むより広いクラスの有理写像へと拡張される。

ABSTRACT

We develop the study of some spaces of currents of bidegree (p,p). As an application we construct the equilibrium measure for a large class of birational maps of P^k as intersection of Green currents. We show that these currents are extremal and that the corresponding measure is mixing.

研究の動機と目的

• 正則多項式自己同型写像を超えて、ℙ^k 上のより広いクラスの有理写像へと均衡測度の理論を拡張すること。
• 特異点集合を有する正則有理写像に対して、双次数 (p,p) のグリーンコホロジーを定義し、それらを研究すること。
• これらのコホロジーの極値性および関連する均衡測度の混合性を証明すること。
• 特異点集合に起因する特異性を有するコホロジーを取り扱うために、dd^c-分解法を一般化すること。
• 正則多項式自己同型写像の小刻みな摂動が、正則有理写像のクラスに留まることを示すこと。

提案手法

• 特異点を持つ写像の下でのコホロジーのプッシュバックを定義・分析するために、dd^c-分解技術を用いる。
• 特異点集合付近での成長が制御される正の閉 (p,p)-コホロジーの空間 PC_p(V) を導入する。
• テスト形式の再帰的分解を用いて、繰り返しプッシュバックの成長を制御し、収束を確立する。
• 正規化された繰り返しプッシュバック d^{-np}f^{n*}(T) が、前方不変集合 U^+_∞ で T^p_+ に弱収束することを確立する。
• コhomologicalな議論と DSH コホロジーの正則化を用いて、極限コホロジーが初期コホロジー T に依存しないことを示す。
• f^* と f_* が、正則化された意味で ⟨f^{n*}(T),Φ⟩ = ⟨T, f_*(Φ)⟩ の式により、コホロジー上で双対的関係を満たすという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則有理写像の均衡測度は、写像が自己同型でない場合でも、グリーンコホロジーの交差として構成可能か？
• RQ2 双次数 (p,p) のグリーンコホロジーは極値的か？すなわち、それらに支配される任意の正の閉 (p,p)-コホロジーは、それらの定数倍に限るか？
• RQ3 これらのコホロジーから得られる均衡測度 μ = T^s_+ ∧ T^{k-s}_- は混合性を示すか？
• RQ4 特に高次元の余次元において、特異点を持つ写像に対して、コホロジーのプッシュバックをどのように意味的に定義できるか？
• RQ5 正則多項式自己同型写像の小刻みな摂動が、正則性条件および極値グリーンコホロジーの存在をどの程度まで保つのか？

主な発見

• 任意の質量 1 の T ∈ PC_p(V) に対して、正規化されたプッシュバック d^{-np}f^{n*}(T) は、U^+_∞ 上で T^p_+ に弱収束する。
• グリーンコホロジー T^p_+ は極値的である：S ≤ T^p_+ かつ S が正の閉 (p,p)-コホロジーであるならば、U^+_∞ 内で S = cT^p_+ と書け、c = ||S|| である。
• 均衡測度 μ = T^s_+ ∧ T^{k-s}_- は不変であり、混合的であり、U^+ ∩ U^- に台を持つ。
• 力学的次数は、1 ≤ p ≤ s に対して d_p = d^p であり、1 ≤ q ≤ k−s に対して δ_q = δ^q であり、d^s = δ^{k−s} が成り立つ。
• この手法は有理的かつ非可逆な写像や確率的反復へと拡張可能であり、有理写像に限らない広範な適用可能性を示している。
• PC_p(V) 内の有界族全体にわたる d^{-np}f^{n*}(T) の収束は一様であるため、極限コホロジーの安定性が保証される。