[論文レビュー] Dynamics of Renyi entanglement entropy in local quantum circuits with charge conservation

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

Quantum many-body systems参考文献 30被引用数 56

ひとこと要約

この論文は、電荷保存を伴う局所的量子回路において、電荷輸送が拡散的であるとき、Rényi 純粋状態のエンタングルメントエントロピー Rα（α > 1）が、O(√t ln t) までしか増加しないことを証明している。この結果は、スティーフェル・ランクに基づく解析と Eckart-Young 定理を用いて得られ、Rényi エントロピーの増加が輸送ダイナミクスのプローブであることを示している—これは von Neumann エントロピーの線形増加とは対照的である。この上限は、最近の数値的結果により、対数的補正を除いて飽和していることから、タイトであることが確認されている。

ABSTRACT

In local quantum circuits with charge conservation, we initialize the system in random product states and study the dynamics of the Renyi entanglement entropy $R_\alpha$. We rigorously prove that $R_\alpha$ with Renyi index $\alpha>1$ at time $t$ is $\le O(\sqrt{t\ln t})$ if the transport of charges is diffusive. Very recent numerical results of Rakovszky et al. show that this upper bound is saturated (up to the sub-logarithmic correction) in random local quantum circuits with charge conservation.

研究の動機と目的

• 電荷保存を伴う局所的量子回路における Rényi エンタングルメントエントロピー Rα（α > 1）の厳密な上界を確立すること。
• Rα の増加が、特に拡散的ダイナミクス下で、量子輸送をプローブすることを示すこと。
• スケーリング解析を用いて、この上界を準拡散的および超拡散的輸送領域に拡張すること。
• 理論的上界と、最近の数値的結果（ランダムな局所的回路における上界の飽和）を結びつけること。

提案手法

• 中心部に部分系 A を持つ二分割スピン鎖を用意し、初期状態として σx 基底におけるランダムな積状態を設定する。
• 中央の切断で |00⟩ 状態への射影 P を適用し、電荷の拡散的拡散を活用して初期状態との重なりを上界化する。
• 元の U(t,0) を誤差が e−Ω(m²/t) で抑えられるように近似する、エンタングルメント構造を保存する変更済み回路 V(t,0) を構築する。
• Eckart-Young 定理を用いて、時間発展演算子の最大スティーフェル係数 λ1 を上界化し、R∞(ρA) = −ln Λ1 を介して Rényi エントロピーと関連付ける。
• Markov の不等式を用いて、高確率（≥1−1/p(t)）で状態が射影部分空間に近いままであることを示し、上界が大多数の初期状態で成立することを保証する。
• 誤差とエンタングルメント増加のバランスを取るために、領域サイズ m = O(√t ln t) を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電荷保存を伴う局所的量子回路において、拡散的輸送下での Rényi エンタングルメントエントロピー Rα（α > 1）の上界は何か？
• RQ2 Rα の増加は、系の基本的輸送特性とどのように関係しているか？
• RQ3 この上界は、準拡散的または超拡散的輸送領域に拡張可能か？
• RQ4 導出された上界はタイトであり、数値的観測と一致するか？

主な発見

• 電荷輸送が拡散的であるとき、Rényi エンタングルメントエントロピー Rα（α > 1）は、高確率（≥1−1/p(t)）で O(√t ln t) に上界される。
• 最近の数値的結果により、ランダムな局所的量子回路において、この上界は対数的補正を除いて飽和しており、確認されている。
• Rα の増加は輸送に本質的に関係している：拡散的輸送下では、線形増加を示す von Neumann エントロピーとは異なり、O(√t ln t) の非線形増加を示す。
• スケーリング距離が ∼tz（0 < z < 1）である準拡散的または超拡散的輸送では、上界は O(tz poly ln t) に一般化される。
• 証明は、スティーフェル分解と Eckart-Young 定理を用いて最大スティーフェル係数を上界化することに依存しており、これが最小エントロピー（したがって Rα）を制御する。
• この結果は、局所的ユニタリのランダム性を仮定せず、一般の拡散的輸送に対して成り立つため、回路構造に対して頑健である。