[論文レビュー] Dynamics of Riemann waves with sharp measure-controlled damping

Marcelo M. Cavalcanti, To Fu+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界を有するコンpakトなリーマン多様体上に、内部および境界測度の合計が任意に小さい$\varepsilon$-可制御減衰領域の幾何的構成を提示する。カルレマン推定を用いて可観測性および一意拡張性を確立し、臨界ソボレフ成長を有する半線形波動方程式に対して有限次元のグローバルアトラクターを証明する。また、これらの領域が幾何的制御条件（GCC）を満たすことを示し、測度制御がきわめて鋭い状況下でも安定化結果が得られることを示す。

ABSTRACT

This paper is concerned with locally damped semilinear wave equations defined on compact Riemannian manifolds with boundary. We present a construction of measure-controlled damping regions which are sharp in the sense that their summed interior and boundary measures are arbitrarily small. The construction of this class of open sets is purely geometric and allows us to prove a new observability inequality in terms of potential energy rather than the usual one with kinetic energy. A unique continuation property is also proved. Then, in three-dimension spaces, we establish the existence of finite dimensional smooth global attractors for a class of wave equations with nonlinear damping and forces with critical Sobolev growth. In addition, by means of an obstacle control condition, we show that our class of measure-controlled regions satisfies the well-known geometric control condition (GCC). Therefore, many of known results for the stabilization of wave equations hold true in the present context.

研究の動機と目的

• 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上に、内部および境界測度の合計が任意に小さい開減衰領域を構成すること。
• そのような領域上で、エネルギーをポテンシャル項で測定するカルレマン推定を用いて、可観測性および一意拡張性不等式を証明すること。
• 三次元において、臨界ソボレフ成長および$C^1$-力を持つ半線形波動方程式に対して、有限次元の滑らかなグローバルアトラクターの存在を確立すること。
• 構成された$\varepsilon$-可制御領域が幾何的制御条件（GCC）を満たすことを示すことにより、既知の安定化結果を測度制御がきわめて鋭い状況にまで拡張すること。

提案手法

• 測度が任意に小さい$M \setminus V$を有する幾何的部分集合$V \subset M$上にスケープポテンシャル関数$d$を構成し、$\omega \supset \overline{M \setminus V}$を$\varepsilon$-可制御減衰領域として定義する。
• 重複する部分領域への$\omega$の分割を用いて、可観測性および一意拡張性へのカルレマン推定の適用を可能にする。
• 定義2.6で導入された新しい障害制御条件を用いて、$\varepsilon$-可制御集合が幾何的制御条件（GCC）を満たすことを証明する。
• ベクトル場およびカルレマン推定を用いたトリガニ＝ヨウおよびラシエッカ＝タタルーの技法を適用し、ポテンシャルエネルギーに基づく可観測性不等式を導出する。
• 局所化された減衰を有する半線形波動方程式に対して準安定性および勾配構造を確立し、有限次元アトラクターに至る。
• 修正されたリャプノフ汎関数によるエネルギー推定および指数的減衰を用いて、漸近的滑らかさおよびアトラクターの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上に、内部および境界測度の合計が任意に小さい減衰領域を構成できるか？
• RQ2 そのような鋭い測度制御下の減衰領域も、依然として幾何的制御条件（GCC）を満たすか？
• RQ3 このような状況下でも、運動エネルギーの代わりにポテンシャルエネルギーに基づいて可観測性および一意拡張性を確立できるか？
• RQ4 臨界ソボレフ非線形性および$C^1$-力を持つ半線形波動方程式は、鋭い測度制御下の減衰のもとで有限次元のグローバルアトラクターを持つか？
• RQ5 GCCのもとで標準的な波動方程式の安定化結果は、$\varepsilon$-可制御減衰領域の状況にまで拡張可能か？

主な発見

• 特定の波動方程式に依存しない純粋な幾何的手法により、$\text{meas}_M(\omega) + \text{meas}_{\partial M}(\omega \cap \partial M) < \varepsilon$を満たす$\varepsilon$-可制御減衰領域$\omega$が構成された。
• 構成された領域は幾何的制御条件（GCC）を満たしており、既知の安定化結果が測度制御がきわめて鋭い状況にまで拡張可能であることが示された。
• 重複する部分領域への$\omega$の分割を用いたカルレマン推定に基づき、ポテンシャルエネルギーに基づく新しい可観測性不等式が証明された。
• 同じ幾何的減衰条件のもとで、波動方程式の解についての一意拡張性が確立された。
• 三次元のコンパクトなリーマン多様体において、臨界ソボレフ成長および$C^1$-力を有する半線形波動方程式は、有限次元の滑らかなグローバルアトラクターを有する。
• 準安定性により、グローバルアトラクターのフラクタル次元が有限であることが示され、解およびその時間微分の$H^2$-有界性を用いてその正則性が証明された。