[論文レビュー] Dynamics of rigid bodies in a two dimensional incompressible perfect fluid

Olivier Glass, Christophe Lacave+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元非圧縮性完全流体内における複数の剛体の運動を、流体の渦度および循環に依存する係数を持つ2階常微分方程式（ODE）として再定式化することを確立する。主な貢献は、追加質量に起因する測地的運動、Kutta-Joukowskiの揚力の一般化であるジャイロスコピック効果、および物体の運動と循環に起因するポテンシャル流れと無渇き流れに起因する相互作用項の同定である。

ABSTRACT

We consider the motion of several rigid bodies immersed in a two-dimensional incompress-ible perfect fluid, the whole system being bounded by an external impermeable fixed boundary. The fluid motion is described by the incompressible Euler equations and the motion of the rigid bodies is given by Newton's laws with forces due to the fluid pressure. We prove that, for smooth solutions, Newton's equations can be recast as a second-order ODE for the degrees of freedom of the rigid bodies with coefficients depending on the fluid vorticity and on the circulations around the bodies, but not anymore on the fluid pressure. This reformulation highlights geodesic aspects linked to the added mass effect, gyroscopic features generalizing the Kutta-Joukowski-type lift force, including body-body interactions through the potential flows induced by the bodies' motions, body-body interactions through the irrotational flows induced by the bodies' circulations, and interactions between the bodies and the fluid vorticity.

研究の動機と目的

• 流体の圧力に直接依存しない、2次元非圧縮性完全流体内における複数の剛体のための簡略化された力学系を導出すること。
• 流体の渦度および剛体回りの循環が剛体の力学に与える影響を特徴づけること。
• 追加質量に起因する測地的運動や、揚力の一般化であるジャイロスコピック力といった幾何的構造を明らかにすること。
• 物体同士の運動と循環に起因するポテンシャル流れおよび無渇き流れを介した相互作用を分析すること。
• 滑らかな解について、連成流体-固体系の数学的に厳密なODE定式化を確立すること。

提案手法

• 流体領域および固体境界における不透過境界条件を満たす非圧縮性Euler方程式を用いて流体運動を定式化する。
• 固体の運動を、固体境界における流体圧力から導かれる力に基づくニュートンの運動法則でモデル化する。
• 形状微分とストリーム関数の技法を用いて、流体速度場の形状微分を固体の位置および姿勢に関して計算する。
• 調和関数およびストリーム関数の法線成分および接線成分の微分を含む境界積分を用いて、簡略化されたODEの係数を導出する。
• レイノルズ移流定理および部分積分を用いて、循環定数の変化と流体速度の微分との関係を関係づける。
• ニュートンの運動方程式を、圧力に依存せず、流体の渦度および循環にのみ依存する係数を持つ2階ODEに再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非圧縮性流体内における剛体のニュートン運動方程式は、流体圧力に依存しない2階ODEとして再定式化可能か？
• RQ2 流体の渦度および剛体回りの循環は、簡略化された系における有効質量およびジャイロスコピック力にどのように影響を与えるか？
• RQ3 流体-構造連成から生じる幾何的構造（測地的運動や一般化された揚力）は何か？
• RQ4 物体同士の運動と循環に起因するポテンシャル流れおよび無渇き流れを介して、どのように相互作用が生じるか？
• RQ5 調和関数の形状微分が、固体の運動に対する流体の応答をどのように特徴づけるか？

主な発見

• 方程式の運動において流体圧力を排除し、剛体の自由度に関する2階ODEに再定式化された。
• ODEの係数は、圧力場ではなく、流体の渦度および剛体回りの循環に明示的に依存する。
• 追加質量効果に起因する測地的構造が動力学に現れる。これは、ポテンシャル流れモードにおける流体の運動エネルギーに起因する。
• 循環および物体間の相対運動に依存するジャイロスコピック力が出現し、古典的Kutta-Joukowski揚力の一般化である。
• 物体同士の相互作用は、各物体の運動に起因するポテンシャル流れの相互影響および循環に起因する無渇き流れの相互作用を通じて符号化される。
• ストリーム関数の形状微分は、ストリーム関数の法線微分および固体境界の速度を含む境界積分で表現される。