[論文レビュー] Dynamics of Siegel Rational Maps with Prescribed Combinatorics

Gaofei Zhang|ArXiv.org|Nov 19, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有界型回転数をもつシーゲル有理型写像のクラスに、postcritically finite 有理型写像のためのサーモンの組合せ的剛性基準を拡張する。トポロジー的クラス $ R_{\theta}^{top} $ を導入し、外部サーモン障害の非存在を用いて実現可能性を証明することで、有界型シーゲル円板をもつ二次有理型写像において、シーゲル円板の境界が少なくとも1つの臨界点を通る擬円周であることを示した—これは、シーゲル写像力学における主要な幾何的問題を解決する。

ABSTRACT

We extend Thurston's combinatorial criterion for postcritically finite rational maps to a class of rational maps with bounded type Siegel disks. The combinatorial characterization of this class of Siegel rational maps plays a special role in the study of general Siegel rational maps. As one of the applications, we prove that for any quadratic rational map with a bounded type Siegel disk, the boundary of the Siegel disk is a quasi-circle which passes through one or both of the critical points.

研究の動機と目的

• postcritically finite 有理型写像のためのサーモンの組合せ的特徴付けを、有界型回転数をもつシーゲル有理型写像のクラスに拡張すること。
• シーゲル円板をもつ有理型写像としての分岐被覆の実現可能性のためのトポロジー的基準を確立すること。
• 有界型回転数をもつ二次有理型写像におけるシーゲル円板境界の幾何的構造を解明すること。
• このような写像における有界型シーゲル円板の境界が、臨界点を通る擬円周であることを示すこと。
• 幾何的に有限でない状況を超えて、非-postcritically finite 有理型写像を理解するための基盤を提供すること。

提案手法

• 単位円板上での剛性回転とその外部に有限な後臨界集合をもつ分岐被覆のトポロジー的クラス $ R_{\theta}^{top} $ を定義すること。
• シーゲル有理型写像による実現の概念を導入し、組合せ的同値性とシーゲル円板上での正則同相写像を要件とする。
• 外部の力学と一致する球面上の対称的分岐被覆 $ F $ を構成し、それを用いて対称的かつ後臨界的に有限な近似列を構築すること。
• オーロイド条件と非周辺的曲線を用いて、$ X \neq P_f $ である修正された不変集合を用いたサーモンの特徴付け定理を適用すること。
• 準等角手術と幾何的解析を用いて、シーゲル円板境界付近の力学を制御し、擬円周構造を証明すること。
• ドゥアディとハバード、キュイ＝チャン＝サリヴァンの結果を活用し、非-postcritically finite 状況における障害と局所線形化可能性を扱うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐被覆 $ f \to R_{\theta}^{top} $ が、$ R_{\theta}^{geom} $ に属するシーゲル有理型写像として実現可能であるための組合せ的条件は何か？
• RQ2 サーモンの障害基準は、postcritically finite でない写像にまで拡張可能か？特に、有界型回転数をもつシーゲル円板をもつ写像について。
• RQ3 有界型回転数をもつ二次有理型写像におけるシーゲル円板境界のトポロジー的および幾何的構造は何か？
• RQ4 このようなシーゲル円板の境界は、必ず臨界点を通るのか？
• RQ5 非-postcritically finite 状況において、局所線形化可能性とオーロイドの双曲的性質はどのように相互作用するか？

主な発見

• 分岐被覆 $ f \to R_{\theta}^{top} $ が、$ R_{\theta}^{geom} $ に属するシーゲル有理型写像として実現可能であるための必要十分条件は、回転円板の外部にサーモン障害をもたないことである。
• 任意の有界型シーゲル円板をもつ二次有理型写像において、シーゲル円板の境界は擬円周である。
• このような写像におけるシーゲル円板の境界は、少なくとも1つの臨界点を通る。
• シーゲル円板の境界が1つの臨界点を通る場合、それは唯一の臨界点である。
• この結果により、3次有理型写像における有界型エルマン環の境界成分は、少なくとも1つ、多くとも2つの臨界点を通る擬円周であることが示唆される。