[論文レビュー] Dynamics of SIR model with vaccination and heterogeneous behavioral response of individuals modeled by the Preisach operator

Jana Kopfová, Petra Nábělková+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、感染歴に応じた行動反応の非一様性を反映する Preisach ヒステリシス作用素を用いて、古典的 SIR モデルを拡張する。これにより、感染歴依存の動的ワクチン接種率を実現する。システムが感染ゼロ均衡またはエンドミック均衡の集合にグローバルに収束する条件を確立し、ヒステリシス作用素の自然な凸性仮定のもとで周期的軌道は除外される。

ABSTRACT

We study global dynamics of an SIR model with vaccination, where we assume that individuals respond differently to dynamics of the epidemic. Their heterogeneous response is modeled by the Preisach hysteresis operator. We present a condition for the global stability of the infection-free equilibrium state. If this condition does not hold true, the model has a connected set of endemic equilibrium states characterized by different proportion of infected and immune individuals. In this case, we show that every trajectory converges either to an endemic equilibrium or to a periodic orbit. Under additional natural assumptions, the periodic attractor is excluded, and we guarantee the convergence of each trajectory to an endemic equilibrium state. The global stability analysis uses a family of Lyapunov functions corresponding to the family of branches of the hysteresis operator.

研究の動機と目的

• 感染歴に応じた、特にワクチン接種率の非一様な行動的反応をモデル化すること。
• Preisach ヒステリシス作用素によって駆動される時間変動型ワクチン接種率を有する SIR モデルのグローバルダイナミクスを分析すること。
• エンドミック均衡状態または感染ゼロ均衡へのグローバル収束の十分条件を確立すること。
• ヒステリシス作用素の自然な凸性仮定のもとで、持続的周期的挙動（周期的軌道）が除外されることを示すこと。
• Preisach 作用素の複数の分岐に適合した、安定性解析に特化したリャプノフ関数の族を開発すること。

提案手法

• ワクチン接種意思決定におけるレートに依存しない記憶効果を捉える Preisach ヒステリシス作用素を用いて、個々の行動的反応をモデル化する。
• 感染レベルに基づき Preisach 作用素の出力から導かれる状態依存ワクチン接種率 $ v(t) $ を有する、修正された SIR モデルを導入する。
• Preisach 作用素の各分岐に対応するリャプノフ関数の族 $ V_k(I,S) $ を用い、異なる軌道弧における安定性を分析する。
• リャプノフ関数の等高線集合の凸性を保証するため、 Preisach 作用素のループの凸性（仮定 A）を用い、グローバル収束の議論を可能にする。
• Preisach 作用素の分岐間のスイッチング点における軌道の挙動を分析し、感染個体および感受性個体群の変化を追跡する。
• 前向きの一意性および有界性の議論を用いて、非有界または病理的挙動（無限大の振動や感染の絶滅など）を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Preisach ヒステリシス駆動ワクチン接種率を有する SIR モデルが、感染ゼロ均衡にグローバルに収束する条件は何か？
• RQ2 感染ゼロ均衡が不安定である場合、エンドミック均衡状態の集合の構造はいかなるものか？
• RQ3 システムに周期的軌道が出現しうるか、どのような条件下でそれらが除外されるか？
• RQ4 Preisach ヒステリシス作用素は、時間経過に伴うワクチン接種行動の非一様な行動的反応をどのようにモデル化するか？
• RQ5 Preisach 作用素のループの凸性は、エンドミック均衡のグローバル安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 感染ゼロ均衡へのグローバル安定性条件が、モデルのパラメータおよび Preisach 作用素の構造に依存して確立された。
• 感染ゼロ均衡が不安定である場合、感染個体および免疫個体の割合が異なる、連結されたエンドミック均衡状態の集合が存在する。
• すべての軌道は、システムのダイナミクスおよびパrameter値に応じて、エンドミック均衡または周期的軌道に収束する。
• 凸性仮定（A）のもとでは、周期的軌道が除外され、すべての軌道がエンドミック均衡状態に収束することが保証される。
• 感染個体数の下限がゼロから正の値で有界であるため、エンドミック均衡が存在する場合には持続的伝播が保証される。
• Preisach 作用素の各分岐に適合したリャプノフ関数の族により、非滑らかでヒステリックなダイナミクスを持つにもかかわらず、厳密なグローバル安定性解析が可能となった。