[論文レビュー] Dynamics of the dominant Hamiltonian, with applications to Arnold diffusion

V. A. Kaloshin, Ke Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、近似的に可積分な系における支配的ハミルトニアンの概念を導入し、共振が2つの明確に分離されたグループに分割可能である場合、遅い系が一方のグループからの部分系によって近似可能であることを示す。主な貢献は、凸ハミルトニアンが任意の自由度数に対して不安定性を示すために不可欠な、単純な構造のアブリ集合を有するアーノルド拡散の拡散経路を構築することにある。

ABSTRACT

It is well known that instabilities of nearly integrable Hamiltonian systems occur around resonances. Dynamics near resonances of these systems is well approximated by the associated averaged system, called slow system. Each resonance is defined by a basis (a collection of integer vectors). We introduce a class of resonances whose basis can be divided into two well separated groups and call them dominant. We prove that the associated slow system can be well approximated by a subsystem given by one of the groups, both in the sense of the vector field and weak KAM theory. One of crucial ingredients of proving Arnold diffusion is understanding the structure of invariant (Aubry) sets of nearly integrable systems. As an important application we construct a diffusion path for a generic nearly integrable system such that invariant (Aubry) sets along this path have a "simple" structure similar to the structure of Aubry-Mather sets of twist maps. This is a crucial ingredient in proving Arnold diffusion for convex Hamiltonians in any number of degrees

研究の動機と目的

• n ≥ 2 個の自由度を有する近的可積分ハミルトニアン系における、長年の未解決問題であるアーノルド拡散を扱う。
• 不安定性および拡散経路の鍵をなす n-共振の近傍における力学を理解する。
• 支配的共振と呼ばれる共振のクラスを同定することで、拡散経路上の不変集合（アブリ集合）の構造を単純化し、その力学が部分系に還元されることを示す。
• 通常双曲的不変円筒（NHIC）が存続する条件および弱KAM解の収束が成立する条件を確立し、拡散経路の構築を可能にする。
• 拡散経路上のアブリ集合がね式写像と類似した単純な構造を有することを証明し、一般設定下でのアーノルド拡散を示すために不可欠な要件を満たす。

提案手法

• 支配的共振の概念を導入し、基底が2つの明確に分離されたグループに分割可能であることを定義する。これにより、遅い系が一方のグループからの部分系によって近似可能となる。
• 平均化およびスケーリング技術を用いて、n-共振近傍の力学を支配的ハミルトニアンによって支配される遅い系に還元する。
• 弱KAM理論を用いて不変集合の構造を分析し、弱KAM解の収束を証明するとともに、事前コンパクト性および近似リプシッツ性の性質を確立する。
• 隔離ブロック法を用いて、(n−1)-共振のネットワークを通る拡散経路を構築するため、通常双曲的不変円筒（NHIC）の存在を証明する。
• 座標変換および正準形理論を用いて、不変円筒を元の系に埋め込み、拡散メカニズムの存続を保証する。
• アブリ集合の半連続性およびバリア関数の推定を活用し、経路上の不変集合の構造を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近的可積分ハミルトニアン系における n-共振近傍の力学は、支配的基底の一方のグループから導かれる部分系に注目することで単純化可能か？
• RQ2 支配的ハミルトニアンの弱KAM解はどのような条件下で収束するのか？ また、これによりアブリ集合の構造はどのように関連するか？
• RQ3 拡散経路上の不変集合（アブリ集合）がね式写像のものと類似した単純な構造を有するように、拡散経路を構築可能か？
• RQ4 支配的系において通常双曲的不変円筒が存続することをどのように証明できるか？ これにより、共振多様体間の遷移が可能になる。
• RQ5 非退化性条件は、共振のネットワークを通る拡散経路の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 支配的ハミルトニアンに関連する遅い系は、ベクトル場および弱KAM理論の観点から、基底の一方のグループからの部分系によって良好に近似可能である。
• スケーリングの下で、支配的ハミルトニアンの弱KAM解は収束し、近似リプシッツ性を示す。これにより構造的安定性が保証される。
• 構築された拡散経路上のアブリ集合は、ね式写像におけるアブリ＝メイザー集合と類似した単純な構造を有する。これは、一般設定下でのアーノルド拡散を証明するために不可欠である。
• 通常双曲的不変円筒は支配的系において存続し、これにより共振多様体間の遷移およびグローバルな拡散経路の構築が可能になる。
• 不変円筒の元の系への埋め込みは座標変換により実現され、不変集合は元の円筒のδ近傍内に含まれる。これによりロバストネスが保証される。
• 本構成は、任意の自由度数において凸ハミルトニアンを有する一般の近的可積分系に対して有効であり、一般の設定下でのアーノルド拡散の証明に向けた重要な一歩を提供する。