[論文レビュー] Dynamics of three vortices on a plane and a sphere -- III. Noncompact case. Problems of collaps and scattering

А. В. Борисов, Valeryi G. Lebedev|ArXiv.org|Mar 25, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、平面および球面上の3つの点渦の非コンパクトな運動を調べ、崩壊と散乱現象に注目する。Lie–Poisson代数と分岐解析を用いて、有限運動および無限運動の条件を導出し、Thomsonの配置および同一直線上配置の安定性領域を特定するとともに、同じ強度を持つ渦のペアが存在する場合に散乱が発生することを確立した。幾何的および力学的条件は、エネルギーおよび運動量の不変量を用いて完全に特徴づけられている。

ABSTRACT

In this article we considered the integrable problems of three vortices on a plane and sphere for noncompact case. We investigated explicitly the problems of a collapse and a scattering of vortices and obtained the conditions of its realization. We completed the bifurcation analysis and investigated for collinear and Thomson's configurations the dependence of stability in linear approximation and frequency of rotation in relative coordinates from value of a full moment. We indicated the geometric interpretation for characteristic situations. We constructed a phase portrait and geometric projection for the integrable configuration of four vortices on a plane.

研究の動機と目的

• 平面および球面上の3渦系の非コンパクトな場合を分析し、特に崩壊と散乱に注目する。
• 全運動量およびエネルギーの不変量に基づいて、渦が有限運動、崩壊、または散乱を示す条件を特定する。
• システムの完全な分岐解析を実施し、Thomsonの配置および同一直線上配置における安定性の遷移を同定する。
• シンプレクティックシートのコンパクト性の役割を含め、位相空間構造の幾何的および力学的解釈を提供する。
• 散乱が発生するための必要十分条件を、渦の強度配置および不変関係式の観点から確立する。

提案手法

• A < 0 の場合、代数 $\mathbb{R} \oplus \mathrm{so}(2,1)$ に基づくポisson括弧を有するLie–Poisson代数構造を用い、A = 0 の場合、可解代数を用いる。ここで $A = a_1a_2 + a_2a_3 + a_1a_3$ である。
• 全運動量 $D = \sum a_k M_k$ およびエネルギー $E$ を保存量として導入し、$M_k$ は渦同士の二乗相互距離を表す。
• 散乱問題を崩壊型運動に写像するために、変数変換 $x_k = 1/M_k$ を導入し、変換された運動方程式を用いて解析を可能にする。
• 不変量 $D$ および $E$ を用いて、逆強度の和 $S = \sum a_k$ に明示的な依存関係を示す分岐図および位相図を構築する。
• 小$D$近似を用いて、平面からの結果を球面に拡張するための幾何的射影および継続法を用いる。
• 線形安定性解析により、$\lambda^2 = -3a_1a_2a_3(D)^{-2}(a_1+a_2+a_3)^3$ の符号を評価し、Thomsonの配置および同一直線上配置の安定性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 渦の強度および全運動量 $D$ がどのような条件下で、システムが崩壊または散乱を示すか？
• RQ2 逆強度の和 $S = \sum a_k$ の符号に依存して、Thomsonの配置および同一直線上配置の安定性はどのように変化するか？
• RQ3 位相空間における曲線 $D = 0$ の幾何的および力学的意義は何か、特に散乱と崩壊の関係において。
• RQ4 非コンパクトな場合の分岐図は、コンパクトな場合と比べて、配置の存在性および安定性においてどのように異なるか？
• RQ5 平面における3渦系で散乱が発生するための、渦の強度に必要な十分な条件は何か？

主な発見

• A < 0 かつ S > 0 の場合、Thomsonの配置は不安定で、同一直線上配置は安定である。D > 0 の場合に散乱が発生し、崩壊は発生しない。
• A < 0 かつ S < 0 の場合、すべての運動は有限であり、Thomsonの配置および同一直線上配置はいずれも D < 0 の場合にのみ存在する。また、|D| → 0 のときエネルギーは発散する。
• A < 0 かつ S = 0 の場合、Thomsonの配置は D = 0 のみに存在し、$\lambda^2 = 0$ であるため退化しており、散乱領域と崩壊領域を分かつ分離子として機能する。
• 散乱は、少なくとも1組の渦が同じ強度（a_1 = a_2 = 1）を持つ場合に限り発生する。これは変換 $x_k = 1/M_k$ を用いて示された。
• S > 0 および S < 0 の両ケースにおいて、Thomsonの配置および同一直線上配置の回転角速度は、|D| の増加に従って単調に減少する。
• A = 0 の場合、2つの静止配置のみが存在する：1つはThomsonの配置、もう1つは同一直線上配置。両者とも D > 0 の場合にのみ存在し、D = 0 は渦が相互に速度中心に位置する同一直線上配置に対応する。