[論文レビュー] Dynamics of Two Coupled van der Pol Oscillators with Delay Coupling Revisited

M. I. Gluzman, Richard H. Rand|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、遅れ項を遅延微分方程式（DDE）のスローフローに保持することで、2つの遅れ結合van der Pol振動子のダイナミクスを再検討する。先行研究とは異なり、遅れ項を非遅れ項に近似するのではなく、遅れを保持している。DDEスローフローの超越的特徴方程式に対して級数解を導出し、遅れ項を無視するとホップ分岐の臨界遅れにおいて3–15%の誤差が生じるのに対し、3項までの切り捨てでは誤差が1%未満にまで低下することを示している。

ABSTRACT

The problem of two van der Pol oscillators coupled by velocity delay terms was studied by Wirkus and Rand in 2002. The small-epsilon analysis resulted in a slow flow which contained delay terms. To simplify the analysis, Wirkus and Rand followed a common procedure of replacing the delay terms by non-delayed terms, a step said to be valid for small epsilon, resulting in a slow flow which was an ODE rather than a DDE (delay-differential equation). In the present paper we consider the same problem but leave the delay terms in the slow flow, thereby offering an evaluation of the approximate simplification made previously.

研究の動機と目的

• 遅れ項を非遅れ項に近似するのではなく、2つの遅れ結合van der Pol振動子のスローフローに遅れ項を保持して再表現すること。
• 先行文献で一般的に用いられる簡略化（遅れ変数を非遅れ変数に置き換えること）がスローフローに与える影響の正確さを評価すること。
• DDEスローフローから生じる超越的特徴方程式に対する級数解を導出し、解析すること。
• スローフローで遅れ項を無視することで生じる誤差、特にホップ分岐の臨界遅れ予測における誤差を定量化すること。
• DDE系の数値積分結果と比較して、解析的近似（1、2、3項までの切り捨て）の精度を評価すること。

提案手法

• 2変数摂動法を用いて、遅れ項を保持したストレッチド時間τのスローフローを導出する。
• Lindstedt法を適用して、同調モードの周期的近似を得る。ここで、振幅と周波数はεおよび遅れTを補正済みである。
• 同調モードの周囲で線形化し、摂動のためのDDEを導出。これにより、遅れ変数を含むDDEスローフローが得られる。
• DDEスローフローから超越的特徴方程式を導出し、εが小さい場合に級数展開（式41、42）により解く。
• 解析的近似（級数の1、2、3項までの切り捨て）をDDEの数値積分結果と比較する。
• 絶対誤差、相対誤差、パーセント誤差の指標を用いて、ホップ分岐の臨界遅れを予測する際の誤差を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スローフローに遅れ項を保持することで、2つの遅れ結合van der Pol振動子におけるホップ分岐の予測にどのような影響を与えるか？
• RQ2 スローフローで遅れ変数を非遅れ変数に近似することで、どの程度の誤差が生じるか？
• RQ3 DDEスローフローの解析的級数近似は、数値積分結果と比べてどの程度の精度を持つのか？
• RQ4 結合強度αと遅れTがそれぞれどの値をとる際に、3項級数近似が臨界遅れ予測で1%未満の誤差を達成するか？
• RQ5 ε = 0.5の場合、1項近似における最大誤差はどこに発生し、その大きさはどの程度か？

主な発見

• 級数解の1項切り捨て（遅れ項を非遅れ項に置き換えるのと同等）では、ホップ分岐の臨界遅れ予測において、εに応じて3–15%の誤差が生じる。
• ε = 0.5の場合、1項近似における最大絶対誤差は0.2218に達し、パーセント誤差は13.11%に達する。これは主に遅れ効果を無視しているためである。
• 3項切り捨てでは、ε = 0.5の場合に最大パーセント誤差が0.71%にまで低下し、高次項の遅れ効果を含めることで高い精度が得られることを示している。
• 1、2、3項近似のすべての誤差指標（絶対誤差、相対誤差、パーセント誤差）において、テストしたすべてのε値でα = 1で最大誤差が発生する。
• DDEスローフロー（26）–（27）の数値積分結果が誤差評価の基準として用いられ、3項級数はこの基準と比較して極めて高い精度を持つことが示された。
• 図1の破線（1項近似）は、数値結果（＋記号でプロット）から著しく逸脱しており、特にαが大きい場合に顕著である。これにより、非遅れ簡略化の不正確さが確認された。