[論文レビュー] Dynamics of zero-Prandtl number convection near the onset

Pinaki Pal, Supriyo Paul+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2010

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本研究は、直接数値シミュレーション（DNS）と27モードの低次元モデルを用いて、臨界に近い零・プラントル数のレイノルズ＝ベナール対流を調査し、カオス的ダイナミクスと複雑なパターンを明らかにした。2つの双曲的次元2の分岐点（CB2およびCB3）を特定し、カオス的アトラクター、うねりのあるロール、正方形、および周期的状態が出現することを示した。特に、CB2における虚数固有値と直接関連するうねりのあるロールの周波数が特定された。

ABSTRACT

In this paper we present various convective states of zero-Prandtl number Rayleigh-Bénard convection using direct numerical simulations (DNS) and a 27-mode low-dimensional model containing the energetic modes of DNS. The origin of these convective states have been explained using bifurcation analysis. The system is chaotic at the onset itself with three coexisting chaotic attractors that are born at two codimension-2 bifurcation points. One of the bifurcation points with a single zero eigenvalue and a complex pair $(0,\pm i ω)$ generates chaotic attractors and associated periodic, quasiperiodic, and phase-locked states that are related to the wavy rolls observed in experiments and simulations. The frequency of the wavy rolls are in general agreement with $ω$ of the above eigenvalue of the stability matrix. The other bifurcation point with a double zero eigenvalue produces the other set of chaotic attractors and ordered states such as squares, asymmetric squares, oscillating asymmetric squares, relaxation oscillations with intermediate squares, some of which are common to the 13-mode model of Pal et al.(2009).

研究の動機と目的

• 零・プラントル数のレイノルズ＝ベナール対流の臨界に近い領域における、複雑な対流パターンとカオスの起源を理解すること。
• 分岐構造がカオス的アトラクターおよび正方形やうねりのあるロールといった秩序状態を生成する役割を調査すること。
• 直接数値シミュレーション（DNS）と比較して27モード低次元モデルの妥当性を検証し、既存の13モードモデルと動的挙動を比較すること。
• 双曲的次元2分岐点における安定性行列の固有値と、うねりのあるロールの周波数との関係を確立すること。
• 零・プラントル数対流が、特に実験的および数値的比較において、低・プラントル数対流の有効な極限ケースとして成立することを確認すること。

提案手法

• 臨界に近い零・プラントル数のレイノルズ＝ベナール対流の直接数値シミュレーション（DNS）を実施し、非線形ダイナミクスの全貌を捉える。
• DNSから抽出した最もエネルギーの高いモードを用いて27モードの低次元モデルを構築し、計算複雑性を低減しつつも、主要なダイナミクスを保持する。
• 27モードモデルにおける分岐解析を実施し、双曲的次元2分岐点（CB2およびCB3）を特定し、アトラクターおよび周期的状態の出現を追跡する。
• 安定性行列の固有値解析を用いて、CB2における純虚数固有値対と関連するうねりのあるロールの振動周波数を結びつける。
• Palら（2009）の13モードモデルとの比較を通じて、非対称正方形や周期的状態といった共通の状態を同定する。
• 低・プラントル数流体（例えば水銀、液体ナトリウム）の既知の数値的および実験的結果と照合し、時間スケールおよびパターンの進化に関する一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零・プラントル数対流の臨界に近い領域における、カオス的アトラクターおよび秩序的対流パターンの起源は何か？
• RQ2 双曲的次元2分岐点（CB2およびCB3）は、うねりのあるロール、正方形、および周期的状態の出現をどのように支配するか？
• RQ3 うねりのあるロールの振動周波数と、CB2分岐点における安定性行列の固有値との関係は何か？
• RQ4 パターン形成およびダイナミクスの観点から、零・プラントル数対流が低・プラントル数対流の有効な極限ケースとしてどの程度成立するか？
• RQ5 27モードモデルの結果は、13モードモデルおよび低・プラントル数流体の実験的・数値的データとどの程度一致するか？

主な発見

• 系は臨界そのものでカオスを示し、2つの双曲的次元2分岐点から生じる3つの共存するカオス的アトラクターが観測された。
• CB2分岐点（単一のゼロ固有値と複素固有値対 $0 \pm i\omega$ を有する）では、カオス的アトラクターに加え、周期的・準周期的・位相ロック状態が生成され、実験的に観測されたうねりのあるロールに対応する。
• うねりのあるロールの周波数は、一般にCB2分岐点における固有値対の虚数部 $\omega$ と整合的である。
• CB3分岐点（二重ゼロ固有値を有する）では、別のカオス的アトラクターおよび秩序状態（正方形、非対称正方形、振動する非対称正方形、中間的な正方形を伴うリラクゼーション振動）が生成された。
• 27モードモデルはPalら（2009）の13モードモデルが再現する主要な状態（SQOR、OASQ、ASQ、SQ）を再現し、モデル簡略化の観点から一貫性を確認した。
• Mishraら（2010）の $P=0.0002$ に対する30モードモデルは、本研究の27モードモデルの分岐ダイアグラム（Bif-A）と密接に一致し、零・プラントル数対流が低・プラントル数対流の有効な極限であることを裏付けた。