[論文レビュー] Dynamics on character varieties: a survey

Richard D. Canary|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本調査は、語りの双曲的群Γと半単純リー群Gに対して、外自己同型群Out(Γ)が特性多様体X(Γ, G)に作用するダイナミクスを調査する。Out(Γ)がAnosov表現（凸ココンパクト表現の高ランク版）に正しく不連続に作用することを確立し、従来の知られていた範囲をはるかに超える、PSL(2,ℂ)の特性多様体X(Γ, PSL(2,ℂ))における不連続領域を同定する。その領域には、非離散的または非忠実な表現を含む場合でさえも、成立する。

ABSTRACT

We survey recent work on the dynamics of the outer automorphism group of a word hyperbolic group on spaces of (conjugacy classes of) representations ofthe group into a semi-simple Lie group G. All these results are motivated by the fact that the mapping class group of a closed surface acts properly discontinuously on the Teichmuller space of the surface. We explore two settings. 1) The work of Guichard, Labourie and Wienhard establishing the proper discontinuity of the action of outer automorphism groups on spaces of Anosov representations. 2) The work of Canary, Gelander, Lee, Magid, Minsky and Storm on the case where the domain group is the fundamental group of a compact 3-manifold with boundary and G=PSL(2,C).

研究の動機と目的

• 写像類群がテイヒミュラー空間に正しく不連続に作用する古典的結果を、語りの双曲的群の外自己同型群へ一般化すること。
• 半単純リー群Gへの表現の共轭類の空間X(Γ, G)におけるOut(Γ)のダイナミクスを理解すること。
• 特に、コンパクトな3次元多様体M（境界付き）の基本群Γ = π₁(M)の場合に、凸ココンパクト表現を越えて不連続領域を拡張すること。
• ダイナミクス的二分法の可能性を検討すること：X(Γ, G)を正しく不連続な領域と混沌とした集合に分割する。

提案手法

• Labourieが導入し、Guichard-Wienhardによって一般化されたAnosov表現の理論を、凸ココンパクト性の高ランク版として用いる。
• 幾何的群論的手法を適用し、準等長埋め込みと対称空間内の測地線への準リプシッツ再帰写像を用いる。
• δ-双曲的空間におけるW-スリムな三角形の概念を用い、距離を制御し、射影下での集合の不交性を証明する。
• 測地線分への射影を用いて群作用の基本領域を構成し、最近点再帰写像の(1,T)-準リプシッツ性を活用する。
• 最近点再帰写像p_ijを用い、凸包C_Γ内の点の測地線A_iおよびA_jへの射影間の距離を制御する。
• 距離の上限とスリム三角形の性質に基づく背理法を用い、測地線A_iとA_j間の距離が一様に有界であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語りの双曲的群Γと半単純リー群Gに対して、Out(Γ)がX(Γ, G)に正しく不連続に作用する条件は何か？
• RQ2 ΓがPSL(2,ℂ)の特性多様体X(Γ, PSL(2,ℂ))における凸ココンパクト表現を越えて、Out(Γ)の不連続領域を拡張できるか？
• RQ3 Anosov表現は、高ランクリー群における凸ココンパクト表現の自然な一般化としてどの程度有効か？
• RQ4 Out(Γ)のX(Γ, G)上での作用に対して、正しく不連続な行動と混沌とした行動を分離するダイナミクス的二分法が存在するか？
• RQ5 特にn ≥ 3の自由群F_nに対して、PSL(2,ℂ)の特性多様体X(F_n, PSL(2,ℂ))において、Out(Γ)がエルゴディックに作用する表現の集合の構造はいかなるものか？

主な発見

• Out(Γ)は任意の半単純リー群GへのAnosov表現の空間に正しく不連続に作用し、古典的写像類群がテイヒミュラー空間に作用する結果を一般化する。
• Γが語りの双曲的群であるとき、Anosov表現の空間はX(Γ, G)の開部分集合であり、Out(Γ)はこの開部分集合に正しく不連続に作用する。
• Γが境界付きのコンパクト3次元多様体Mの基本群であり、G = PSL(2,ℂ)である場合、Out(Γ)はX(Γ, PSL(2,ℂ))において、凸ココンパクト表現を真に含む不連続領域を有する。
• これらのより大きな不連続領域は、非離散的または非忠実な表現を含む可能性があり、より広範な範囲の良好なダイナミクスを示す。
• n ≥ 3の自由群F_nに対して、GelanderとMinskyは、Out(Γ)がX(F_n, PSL(2,ℂ))の開部分集合上でエルゴディックに作用することを示した。
• Γ = F_2およびG = SL(2,ℝ)の場合、完全なダイナミクス的二分法が知られている：Out(Γ)のX(Γ, G)上での作用は、正しく不連続な開集合と混沌とした閉集合に分割される。