[論文レビュー] Dynkin Games and Israeli Options

Yuri Kifer|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 64被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Dynkinゲームとイvリット（ゲーム）オプションの包括的サーベイを提供し、それらの理論的基盤を確立するとともに、過去10年間における主要な発展を分析している。離散時間モデルにおけるスーパーヘッジ戦略を用いたゲームオプションの価格設定とヘッジの統一的枠組みを提示し、均衡戦略の存在を証明し、離散近似の誤差バウンドを導出している。また、取引コストを伴うゲームオプションについても、バイアンドホールド戦略とボナッチモデルからの極限結果を検討している。

ABSTRACT

We start briefly surveying research on optimal stopping games since their introduction by E.B.Dynkin more than 40 years ago. Recent renewed interest to dynkin's games is due, in particular, to the study of Israeli (game) options introduced in 2000. We discuss the work on these options and related derivative securities for the last decade. Among various results on game options we consider error estimates for their discrete approximations, swing game options, game options in markets with transaction costs and other questions.

研究の動機と目的

• 1960年代後半にDynkinによって導入されたDynkinゲームの理論的発展をサーベイすること。
• 2000年に導入されたイvリット（ゲーム）オプションおよび関連デリバティブ証券に関する研究の進化を分析すること。
• 取引コストあり・なしの両方の離散時間金融市場におけるゲームオプションの厳密なスーパーヘッジ戦略を確立すること。
• ゲームオプションの離散近似における誤差推定を導出し、それらの収束性質を検討すること。
• 特にブラック・ショールズ設定において、取引コストを伴う市場における最適戦略の構造を調査すること。

提案手法

• 右連続かつ完全なフィルトレーションの下で、停止時刻 $s$ と $t$ に依存するペイオフ $H(s,t)$ を持つ、三つの適応過程 $X_t$、$Y_t$、$Z_t$ を用いて、Dynkinゲームの設定を形式化する。
• ヘッジの議論に基づく根拠の下で、売り手戦略の下界と買い手戦略の上界を用いたミニマックス原理を適用し、ゲーム価値を定義する。
• 価値関数のepigraphを用いて、自己財務調整条件とポートフォリオの妥当性を保証するインダクティブアルゴリズムを用いて、買い手および売り手のスーパーヘッジ戦略を構築する。
• 各時刻におけるポートフォリオ制約と停止時刻意思決定を、ペイオフ関数のepigraph（$\text{epi}(q_t^a)$、$\text{epi}(r_t^b)$ など）に符号化する。
• 離散時間近似技術を適用し、ボナッチモデルに基づく戦略が連続時間ゲームオプション価値に収束することを示す。
• 取引コストモデルを分析する際、最も安価なスーパーヘッジ戦略が、ブラック・ショールズ市場におけるボレル集合の到達時刻と組み合わせたバイアンドホールドポートフォリオであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーム価値の構造は何か？ また、存在が非自明な場合に、どのように厳密に定義できるか？
• RQ2 ポートフォリオ制約を伴う離散時間市場において、ゲームオプションの買い手および売り手のスーパーヘッジ戦略は、どのように構築できるか？
• RQ3 ゲームオプションの離散近似における誤差バウンドは、どのように確立できるか？ また、それらは連続時間極限にどのように収束するか？
• RQ4 取引コストは、ゲームオプションの最適ヘッジ戦略にどのように影響を与えるか？ また、ブラック・ショールズ設定における最小コスト戦略は何か？
• RQ5 取引コストを伴うゲームオプションのショートフォールリスクは何か？ そして、それがボナッチモデル近似の極限としてどのように特徴づけられるか？

主な発見

• ゲーム価値は存在し、$Y_t \leq Z_t \leq X_t$ およびペイオフ過程の上界の可積分性という条件下で、鞍点均衡によって特徴づけられる。
• 売り手のスーパーヘッジ戦略は存在し、価値関数のepigraphを用いたインダクティブアルゴリズムにより構築され、自己財務調整およびポートフォリオの妥当性が保証される。
• 買い手のスーパーヘッジ戦略も同様に、双対的なインダクティブアルゴリズムを用いて構築され、初期ポートフォリオが買い手の価値関数のepigraphに含まれることを保証する。
• 取引コストを伴う市場では、ブラック・ショールズモデルにおけるゲームオプションの最も安価なスーパーヘッジ戦略が、バイアンドホールドポートフォリオとボレル集合の到達時刻の組み合わせであることが示された。
• 取引コストを伴うゲームオプションのショートフォールリスクは、ボナッチモデル系列における対応する式の極限として導出され、連続時間ケースへの収束が確認された。
• ゲームオプションの離散近似は真のゲームオプション価値に収束し、ボナッチモデルに基づく戦略の収束を通じて、誤差推定が確立された。