[論文レビュー] E_6 unification model building III. Clebsch-Gordan coefficients in E_6 tensor products of the 27 with higher dimensional representations

Greg W. Anderson, T. Blažek|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、E6の基本表現27-pletと高次元表現（78, 351, 351′）のテンソル積におけるクレブシュ＝ゴルダン係数（CGC）を計算し、E6統一超対称モデルにおける高次元オペレーターの構築に不可欠な群論的道具を提供する。主な貢献は、27⊗78、27⊗351、27⊗351′、および関連する積に対して完全なCGC表を提供することであり、これによりフェルミオン質量行列の生成に寄与するE6不変量を標準模型の量子数に明示的に分解できるようになる。

ABSTRACT

$E_6$ is an attractive group for unification model building. However, the complexity of a rank 6 group makes it non-trivial to write down the structure of higher dimensional operators in an $E_6$ theory in terms of the states labeled by quantum numbers of the Standard Model gauge group. In this paper, we show the results of our computation of the Clebsch-Gordan coefficients for the products of the {\bf 27} with irreducible representations of higher dimensionality: ${\bf 78}$, ${\bf 351}$, ${\bf 351^\prime}$, ${\bf \ol{351}}$, and ${\bf \ol{351^\prime}}$. Application of these results to $E_6$ model building involving higher dimensional operators is straightforward.

研究の動機と目的

• E6の27-pletと高次元非可約表現（78, 351, 351′）を含むテンソル積における完全なクレブシュ＝ゴルダン係数（CGC）のセットを提供すること。これらは、E6統一モデルにおける高次元オペレーターを構築する上で不可欠である。
• E6不変量を標準模型ゲージ量子数に明示的に分解できることを可能とし、特に高次元オペレーターによるフェルミオン質量行列の生成を目的とする。
• 従来の文献に存在しなかった、27⊗351、27⊗351′、および関連する積に対するCGCの計算を通じて、E6テンソル積に関する先行研究を拡張すること。
• 降下演算子と位相規約を用いた、結果の非可約表現の重み系を体系的に構築する方法を確立することにより、CGC計算における一貫性とユニタリティを保証すること。

提案手法

• 6つの単純根に対応する生成子E−αiを用いたE6の降下演算子形式を用い、非可約表現の完全な重み系を構築するため、逐次的に適用する。
• 標準的な降下関係式E−αi|w⟩ = N−αi,w |w−αi⟩を適用し、内積と以前のCGCノルムを含む再帰関係によりN−αi,wを計算する。
• すべてのN−αi,wに対して実かつ非負の位相規約を導入し、CGCテーブルにおけるユニタリティと一貫性を保証する。
• 主な重みから出発し、降下操作を適用することで27、78、351、351′表現の重み系を構築し、縮退と多重度を追跡する。
• すべてのテンソル積分解のCGCを計算する：27⊗78 = 1728⊕351⊕27、27⊗351 = 7371⊕1728⊕351⊕27、27⊗351′ = 7722⊕1728⊕27、および27⊗351 = 5824⊕2925⊕650⊕78、27⊗351′ = 3003⊕5824⊕650。
• 各エントリが最終行のそれぞれの正規化因子で除算されるように、正規化因子を含むCGCの明示的テーブルを提供し、⟨n|n⟩=1を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積27⊗78のクレブシュ＝ゴルダン係数はどのように計算され、E6の非可約表現に分解されるか？
• RQ2 E6における351および351′表現の構造は何か？ 27-pletと結合した場合にどのように分解されるか？
• RQ3 27⊗351および27⊗351′のCGCはどのように計算され、ユニタリティとE6群構造との一貫性を保証するように正規化されるか？
• RQ4 縮退した重み状態は降下手続きにおいて果たす役割は何か？ それらはCGC計算でどのように処理されるか？
• RQ5 得られたCGCテーブルは、フェルミオン質量を統一モデルで生成する高次元E6不変オペレーターを構築するためにどのように利用できるか？

主な発見

• テンソル積27⊗78は1728⊕351⊕27に分解され、すべての成分に対して明示的なCGCが計算され、78をヒッグス的状態として含むE6不変オペレーターの構築を可能にする。
• 27⊗351は7371⊕1728⊕351⊕27に、27⊗351′は7722⊕1728⊕27に分解され、縮退した重み状態を含むすべての状態に対してCGCが完全に表形式で提供されている。
• 27⊗351では5824⊕2925⊕650⊕78に、27⊗351′では3003⊕5824⊕650に分解され、650-pletの20状態および対応する351/351′状態のCGCが提供されている。
• CGCテーブルは、各状態ベクトルが単位ノルムになるように正規化されており、各テーブルの最終行に正規化因子が明示的に記載されている。
• 78および351表現における縮退した重み状態は、一貫性のあるラベル付け方式と位相規約を用いることで、明確に識別可能であり、CGC計算における曖昧さを回避している。
• 結果として得られたものは、27-pletと高次元表現を含む高次元オペレーターを明示的に書くための完全で明確なツールキットであり、すべての標準模型の量子数が分解において顕在化されている。