[論文レビュー] E-Characteristic Polynomials of Tensors

An-Min Li, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、テンソルのE特徴多項式の係数が直交座標変換に関して不変であることを確立し、2次元テンソルの場合、先頭係数が $ P_m $ と $ Q_m $ の和の多項式関数であることを証明している。主な結果として、$ m $ が偶数のとき $ a_{h(m,2)}(m,2) = (P_m^2 + Q_m^2)^{(m-2)/2} $ であり、$ m $ が奇数のとき $ -(P_m^2 + Q_m^2)^{m-2} $ であることが、定数倍を除いて成り立つ。また、無限個の固有ペアを持つテンソルの集合と不規則テンソルの集合が、それぞれテンソルの射影空間において余次元2を持つことも示している。

ABSTRACT

In this paper, we show that the coefficients of the E-characteristic polynomial of a tensor are orthonormal invariants of that tensor. When the dimension is 2, some simplified formulas of the E-characteristic polynomial are presented. A re- sultant formula for the constant term of the E-characteristic polynomial is given. We then study the set of tensors with infinitely many eigenpairs and the set of irregular tensors, and prove both the sets have codimension 2 as subvarieties in the projective space of tensors. This makes our perturbation method workable. By using the perturbation method and exploring the difference between E-eigenvalues and eigenpair equivalence classes, we present a simple formula for the coefficient of the leading term of the E-characteristic polynomial, when the dimension is 2.

研究の動機と目的

• E特徴多項式の係数が直交座標変換に関して不変であることを確立すること。
• E固有ペアの構造を分析し、テンソルが無限個の固有ペアを持つ条件や不規則となる条件を同定すること。
• 2次元の場合におけるE特徴多項式の先頭係数の明示的公式を導出すること。
• 無限個の固有ペアを持つテンソルの集合と不規則テンソルの集合が、それぞれテンソルの射影空間において余次元2を持つことを証明することにより、摂動に基づく解析を可能にすること。

提案手法

• 変数 $ heta $ を均質化変数として、方程式系 $ Ax^{m-1} = \theta x $, $ x^T x = \theta^2 $ の結果根を用いてE特徴多項式を定義した。
• 結果根の定式化を用いて、E特徴多項式を $ \theta $ に関する一変数多項式として表現し、その係数をテンソル成分の多項式として得た。
• 特定のインデックスパターンに沿ったテンソル成分の和に符号を交互に付ける形で $ P_m $ と $ Q_m $ を導入し、先頭係数の消失を特徴づけた。
• 固有ペアの同値類と均質化系を用いて、先頭係数が 0 となるのは $ P_m^2 + Q_m^2 = 0 $ であるときに限ることを証明した。
• 代数幾何学的技法を用いて、無限個の固有ペアを持つテンソルの部分多様体と不規則テンソルの部分多様体がそれぞれ余次元2であることを示した。
• 摂動理論と閉包論法を用いて、先頭係数の零点集合と $ P_m^2 + Q_m^2 $ の零点集合を一致させ、定数倍を除いて先頭係数の正確な形を確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E特徴多項式の係数は直交座標変換に関して不変か？
• RQ2 2次元テンソルにおけるE特徴多項式の先頭係数の代数的構造は何か？
• RQ3 テンソルが無限個の固有ペア同値類を持つのはどのような条件下か？
• RQ4 テンソルが不規則であるとはどういう意味か？ また、射影テンソル空間における不規則性の集合の余次元は何か？
• RQ5 E特徴多項式の先頭係数が消失することは、方程式系 $ Ax^{m-1} = \theta x $, $ x^T x = 0 $ の非自明解の存在とどのように関係するか？

主な発見

• E特徴多項式の係数はテンソルの直交不変量であり、座標系の直交変換に対して不変である。
• 2次元テンソルの場合、先頭係数 $ a_{h(m,2)}(m,2) $ は $ m $ が偶数のとき $ (P_m^2 + Q_m^2)^{(m-2)/2} $ に比例し、$ m $ が奇数のとき $ -(P_m^2 + Q_m^2)^{m-2} $ に比例する。
• 無限個の固有ペア同値類を持つテンソルの集合は、射影空間 $ \bb{C}\bb{P}^{2^m - 1} $ において余次元2以上である。
• 不規則テンソルの集合も同様に、同じ空間において余次元2以上であり、一般の摂動設定において両者の集合は無視できる。
• 先頭係数が 0 となるのは $ P_m^2 + Q_m^2 = 0 $ のときに限る。これは、完全な固有ペアの集合が存在しないことを特徴づける。
• 次数数え上げと明示的例を用いた検証により、先頭係数の関数的形が定数倍を除いて正当化された。