[論文レビュー] Early Record of Divisibility and Primality

Subhash Kak|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2009

History and Theory of Mathematics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特に『 Śatapatha Brāhmaṇa』に記された古代ヴェーダ的文献からの文章的証拠を提示し、初期のインドの学者たちが720 や10,800 といった数の約数を体系的に計算しており、約数の個数が天文学的・周期的現象と結びついていることを示している。この研究では、素数の概念が、このような約数の列挙を通じて間接的に生じた可能性を示唆しており、素数は周期性を超えた『超越的』なものとして象徴されている。

ABSTRACT

We provide textual evidence on divisibility and primality in the ancient Vedic texts of India. Concern with divisibility becomes clear from the listing of all the fifteen pairs of divisors of the number 720. The total number of pairs of divisors of 10,800 is also given. The motivation behind finding the divisors was the theory that the number of divisors of a certain periodic process is related to the count associated with some other periodic process. For example, 720 (days and nights of the year) has 15 pairs of divisors, and this was related to the 15 days of the waxing and waning of the moon. Numbers that have no divisors appeared to have been used to symbolize the "transcendent" that is beyond periodicity and change.

研究の動機と目的

• 古代ヴェーダ的文献に、特に約数性や素数に関する体系的数論的知識の証拠が含まれているかどうかを調査すること。
• 約数列挙がヴェーダ的宇宙論や儀礼に果たす役割、特に月の周期や太陽年といった周期的プロセスとどのように関連しているかを分析すること。
• 特定の約数個数や素因数を持つ数の意図的な使用が、明示的な用語がなくとも素数の概念的認識を示している可能性を検討すること。
• ヴェーダ的生理学やヤントラ（宇宙図）における象徴的数の分析を通じて、素数に基づく設計原理が存在するかを調査すること。
• 初期のインドの数学的思考に、古典的ギリシャ数論に先んじる原型的数論的推論が含まれていたことを確立すること。

提案手法

• 『Śatapatha Brāhmaṇa』（ŚB）および他のヴェーダ層に記されたテキスト的参照を分析し、720 の約数対15組のような明確な約数対の数え上げを特定すること。
• 約数対の数を天体的周期と照合する。例えば、1年間の日数720 に対して15組の約数対が、月の満ち欠けの15日周期に対応している。
• ヴェーダ文献に登場する数値を検討する。例えば、『Ṛgveda』の語数の半分である76,913（素数）や、『Ṛgveda』の韻文数の半分である5,261（素数）を挙げること。
• ヤントラ（例：Śri Yantra や『Śvetāśvatara Upaniṣad』の記述）の構造を調査し、137 のような素数個の数を特定し、それらの象徴的意義を評価すること。
• 生理的数値の素数性を評価する。例えば、『Praśna Upaniṣad』における主要なnāḍī1本あたりのnāḍī総数7,200,101 は素数であり、これは意図的な使用を示唆する。
• メソポタミアの数学的粘土板（例：古バビロニア乗法表やピタゴラス数）と比較することで、ヴェーダ的体系的約数列挙の独自性を浮き彫りにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェーダの賢人たちは、『Śatapatha Brāhmaṇa』に示されるように、約数列挙について体系的な知識を持っていたのだろうか？
• RQ2 720 や10,800 といった数の約数対の数え上げが、天体的または儀礼的周期とどのように関連していたのか？
• RQ3 語数、韻文数、nāḍī数に素数が使われていたことが、素数の概念的認識の間接的反映である可能性はあったのだろうか？
• RQ4 1と自分自身以外に約数を持たない数に、どのような象徴的または宇宙論的意義が与えられていたのか？
• RQ5 ヴェーダ的伝統は、宇宙の形而上的・生理的モデルに、数論的性質をどの程度統合していたのだろうか？

主な発見

• 『Śatapatha Brāhmaṇa』は720 の約数対15組を明示的に列挙しており、これは15日周期の月の満ち欠けに対応しており、約数個数と周期的現象との間の意図的な関連を示している。
• 10,800 の約数対総数も記録されており、宇宙論的に重要な数の約数を体系的に列挙していたことが示唆される。
• 『Ṛgveda』の語数153,826 の半分である76,913 は素数であり、テキスト編纂における素数の意図的使用を示唆する。
• 『Ṛgveda』の韻文数10,522 は 2 × 5,261 に因数分解され、5,261 も素数である。これは、テキスト設計における素数認識の可能性をさらに裏付けている。
• 『Praśna Upaniṣad』の生理的モデルにおけるnāḍī総数727,210,101 は 101 × 7,200,101 に分解され、両方の因数が素数である。これは、素数性の象徴的使用の可能性を示唆している。
• 『Śvetāśvatara Upaniṣad』の宇宙の車輪の記述から得られる総数137 個は素数であり、素数個の数がヤントラ設計において形而上的意義を持っていた可能性を示唆している。