[論文レビュー] Edge Decompositions of Hypercubes by Paths

David J. Anick, Mark Ramras|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Interconnection Networks and Systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、長さ $ m $ のパスが $ q $ 次元ハイパーキューブ $ Q_q $ を辺分解するための完全な特徴付けを確立し、奇数の $ q < 2^{32} $ に対して、$ P_m $ が $ Q_q $ を分割するための必要十分条件が $ m \leq q $ かつ $ m \mid q \cdot 2^{q-1} $ であることを証明している。この結果は、ハミルトニアンサイクルと頂点を共有しないパス系を用いた新しいグラフ操作および再帰的構成に依拠している。

ABSTRACT

Many authors have investigated edge decompositions of graphs by the edge sets of isomorphic copies of special subgraphs. For $q$- dimensional hypercubes $Q_q$ various researchers have done this for cer- tain trees, paths, and cycles. In this paper we shall say that "$H$ divides $G$" if $E(G)$ is the disjoint union of $\{fE(H_i) | H_i \simeq H\}$. Our main result is that for $q$ odd and $q &lt; 2^{32}$, the path of length $m$, $P_m$, divides $Q_q$ if and only if $m \leq q$ and $m | (q imes 2^{q-1})$.

研究の動機と目的

• 奇数の $ q $ に対して、パス $ P_m $ が $ q $ 次元ハイパーキューブ $ Q_q $ を辺分解するための必要十分条件を同定すること。
• 長年の未解決問題であるハイパーキューブにおけるパス分解を、奇数次元の場合について完全な特徴付けで解決すること。
• ハイパーキューブにおける辺を共有しないパス系の再帰的構成を可能にする、新しいグラフ理論的演算を開発すること。
• ハミルトニアンサイクル分解やパス埋め込みに関する既知の結果を、一般のパス長さへと拡張すること。
• 奇数の $ q < 2^{32} $ に対して、必要な割り切れと長さ制約が、$ P_m <_D Q_q $ であるために十分であることを証明すること。

提案手法

• 辺分解の関係を表す部分順序 $ H <_D G $ を導入し、$ H $ が $ G $ を同型コピーの集合によって辺分解することを意味する。
• 頂点の偶奇性と辺ラベルの操作を可能にする基本的演算 $ j^0 \cdot \alpha $, $ j^1 \cdot \alpha $, および $ \hat{j} \cdot \alpha $ を定義する。
• 頂点の偶数パリティ部分集合 $ B_q $ に対し、$ f_\gamma: P_q \to Q_q $ の埋め込みを構成し、$ 2^{q-1} $ 個のパス像を生成することで、全 $ q \cdot 2^{q-1} $ 条の辺をカバーする。
• 頂点を共有しないパス系（DVOP）とハミルトニアンサイクル分解の再帰的構成を用いて、$ m < q $ の場合の $ P_m $-分解を構築する。
• 定理2を適用して、より小さいハイパーキューブからの分解を拡張する：$ P_{m'} <_D Q_{q'} $ ならば、$ m = d m' $, $ q = d q' $ に対して $ P_m = d * P_{m'} <_D d * Q_{q'} <_D Q_q $ が成り立つ。
• $ \rho_2 $-値の mod 8 の性質を活用し、再帰的構成におけるパスの自己交差回避と辺の共有なしを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の $ q < 2^{32} $ に対して、パス $ P_m $ がハイパーキューブ $ Q_q $ を辺分解する条件は何か？
• RQ2 必要条件 $ m \leq q $ かつ $ m \mid q \cdot 2^{q-1} $ は、$ P_m <_D Q_q $ に対しても十分であるか？
• RQ3 ハイパーキューブにおける辺を共有しないパス系を再帰的に生成するための新しいグラフ操作を構築可能か？
• RQ4 ハミルトニアンサイクル分解と DVOP は、一般のパス分解の構築にどのように寄与するか？
• RQ5 $ m $ と $ q $ の最大公約数は、問題をより小さいハイパーキューブの分解に還元する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 奇数の $ q < 2^{32} $ に対して、$ P_m $ が $ Q_q $ を分割するための必要十分条件は $ m \leq q $ かつ $ m \mid q \cdot 2^{q-1} $ であり、この範囲での予想が解決された。
• 必要条件 $ m \leq q $ は、$ Q_q $ の奇数次数の頂点が少なくとも1本のパスの端点でなければならないという要請に起因する。この要請により、パスの数は $ 2^{q-1} \cdot q / m $ に制限され、$ 2 \cdot (2^{q-1} \cdot q / m) \geq 2^q $ を満たさなければならない。
• もし $ \gcd(m, q) = 1 $ ならば、$ m $ は2の累乗でなければならない。このとき $ m \leq 2^t \leq q $（$ t < 32 $）であり、補題2〜5により $ P_{2^t} <_D Q_q $ が成り立つ。
• もし $ \gcd(m, q) = d > 1 $ ならば、問題は $ P_{m/d} <_D Q_{q/d} $ に還元され、ここで $ m/d $ は2の累乗で $ q/d < 2^{32} $ であるため、定理2を適用して分解を拡張することで結果が得られる。
• 2値の mod 8 を追跡する DVOP の構築により、パスが頂点を共有せず、辺を共有しないことが保証され、再帰的パス系の生成が可能になる。
• 本稿では $ q \geq 2^t $ かつ $ t < 32 $ のとき $ P_{2^t} <_D Q_q $ が成り立つことを証明しており、これは一般の場合の還元において $ d=1 $ の場合に基礎的となる。