[論文レビュー] Edge-local equivalence of graphs

Maarten Van den Nest, Bart De Moor|ArXiv.org|Oct 12, 2005

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、GF(2) 上の隣接行列に対する線型分数変換（LFT）を用いて、グラフのエッジ局所的同値性を特定する多項式時間アルゴリズムを確立する。主な貢献は、2つのグラフがエッジ局所的同値であるための必要十分条件として、隣接行列が形式 $\Gamma \mapsto ((A+I)\Gamma + A)(A\Gamma + A + I)^{-1}$ のLFTによって関連付けられていることを証明したことである。これにより、同値類の効率的同定、数え上げ、構造的解析が可能となる。

ABSTRACT

The local complement G*i of a simple graph G at one of its vertices i is obtained by complementing the subgraph induced by the neighborhood of i and leaving the rest of the graph unchanged. If e={i,j} is an edge of G then G*e=((G*i)*j)*i is called the edge-local complement of G along the edge e. We call two graphs edge-locally equivalent if they are related by a sequence of edge-local complementations. The main result of this paper is an algebraic description of edge-local equivalence of graphs in terms of linear fractional transformations of adjacency matrices. Applications of this result include (i) a polynomial algorithm to recognize whether two graphs are edge-locally equivalent, (ii) a formula to count the number of graphs in a class of edge-local equivalence, and (iii) a result concerning the coefficients of the interlace polynomial, where we show that these coefficients are all even for a class of graphs; this class contains, as a subset, all strongly regular graphs with parameters (n, k, a, c), where k is odd and a and c are even.

研究の動機と目的

• エッジ局所的同値性の包括的な代数的枠組みを構築すること。これは、広く知られている局所的補完操作を一般化する。
• 量子情報、DNA配列決定、暗号技術において重要であるにもかかわらず、エッジ局所的補完のための体系的理論の欠如に取り組むこと。
• 2つのグラフがエッジ局所的同値であるかどうかを決定する計算的に効率的な手法を提供すること。
• エッジ局所的同値類の構造的不変量と数え上げ公式を導出すること。
• エッジ局所的同値性、インタラース・ポリノミアル、GF(2)代数的構造における等方的系との関係を確立すること。

提案手法

• 本稿は、GF(2) 上の線型分数変換（LFT）を用いて、グラフの隣接行列 $\Gamma$ に対するエッジ局所的補完を変換としてモデル化する。
• エッジに沿ったエッジ局所的補完を表す特定のLFT形式 $\Gamma \mapsto ((A+I)\Gamma + A)(A\Gamma + A + I)^{-1}$ を導出する。ここで $A$ は対角行列である。
• グラフ状態と等方的系を $\mathbb{F}_2$ 上の線形代数によって表現し、グラフ操作と行列変換を結びつける。
• 等方的系構造を保存する行列の群 $\mathcal{C}_n$ を用いて同値類を特徴付ける。
• エッジ局所的同値性をインタラース・ポリノミアルと結びつけ、その係数が特定のグラフクラスに対して偶数であることを証明する。
• LFT特徴付けに基づき、$\mathcal{O}(n^4)$ の複雑度を持つ多項式時間アルゴリズムを導出し、同値性認識に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフのエッジ局所的同値性は、隣接行列への変換によって代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 エッジ局所的同値性を決定する計算量の複雑度は何か？ そして、多項式時間で解けるか？
• RQ3 エッジ局所的同値類に属するグラフの数はどのように計算できるか？
• RQ4 特にインタラース・ポリノミアルに関して、エッジ局所的補完によって保存される構造的性質は何か？
• RQ5 非特異的グラフの隣接行列は、エッジ局所的補完のみを用いて逆行列化可能か？

主な発見

• 2つのグラフがエッジ局所的同値であるための必要十分条件は、それらの隣接行列が $\mathbb{F}_2$ 上で形式 $\Gamma \mapsto ((A+I)\Gamma + A)(A\Gamma + A + I)^{-1}$ の線型分数変換によって関連付けられていることである。
• エッジ局所的同値性を認識する多項式時間アルゴリズムが存在し、その複雑度は $\mathcal{O}(n^4)$ である。
• 与えられたエッジ局所的同値類に属するグラフの数を数えるための公式が導出された。
• すべてのパラメータ $(n,k,a,c)$ を持つ強い正則グラフで、$k$ が奇数で $a,c$ が偶数である場合、インタラース・ポリノミアルのすべての係数は偶数である。
• 非特異的隣接行列は、エッジ局所的補完の系列を用いて逆行列化可能である。
• この枠組みにより、量子情報におけるLC同値性の制限版が確立され、エッジ局所的補完がグラフ状態における局所的ハダマード操作と関連づけられた。