[論文レビュー] Edge-transitive bi-Cayley graphs

Marston Conder, Jin‐Xin Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正規辺推移的双ケイリー図形を特徴づけ、それがいずれかのタイプであることを示している：弧推移的、半弧推移的、または半対称的であり、また、2次元の辺推移的図形のうち、周長が6以下であるものの完全な分類を提供している。さらに、アーベル群、二面体群、およびメタ巡回 $ p $-群上の双ケイリー図形について、正規辺推移性が特定の条件下で正規性を意味することを確立し、マルーシチとポトッチニク（2001年）が提起した2-弧推移的、半弧推移的、および半対称的図形に関する未解決問題を解決している。

ABSTRACT

A graph $\G$ admitting a group $H$ of automorphisms acting semi-regularly on the vertices with exactly two orbits is called a {\em bi-Cayley graph\/} over $H$. Such a graph $\G$ is called {\em normal\/} if $H$ is normal in the full automorphism group of $\G$, and {\em normal edge-transitive\/} if the normaliser of $H$ in the full automorphism group of $\G$ is transitive on the edges of $\G$. % In this paper, we give a characterisation of normal edge-transitive bi-Cayley graphs, %which form an important subfamily of bi-Cayley graphs, and in particular, we give a detailed description of $2$-arc-transitive normal bi-Cayley graphs. Using this, we investigate three classes of bi-Cayley graphs, namely those over abelian groups, dihedral groups and metacyclic $p$-groups. We find that under certain conditions, `normal edge-transitive' is the same as `normal' for graphs in these three classes. As a by-product, we obtain a complete classification of all connected trivalent edge-transitive graphs of girth at most $6$, and answer some open questions from the literature about $2$-arc-transitive, half-arc-transitive and semisymmetric graphs.

研究の動機と目的

• 正規辺推移的双ケイリー図形を特徴づけ、その構造的性質および対称性の性質を特定すること。
• アーベル群、二面体群、およびメタ巡回 $ p $-群上の双ケイリー図形において、正規性と正規辺推移性の関係を調査すること。
• 周長が6以下の連結3次辺推移的図形を分類すること。
• マルーシチとポトッチニク（2001年）が提起した2-弧推移的、半弧推移的、および半対称的図形に関する未解決問題を解消すること。
• 正規辺推移的双ケイリー図形が弧推移的、半弧推移的、または半対称的である例を明示的に構成することで、それらの3つの対称性タイプのすべてに無限族が存在することを示すこと。

提案手法

• 群 $ H $ が頂点に2つの軌道をもつ半正則に作用するという条件の下で、双ケイリー図形の構成 $ \mathrm{BiCay}(H, R, L, S) $ を用いる。
• 特に、$ \mathrm{Aut}(\Gamma) $ における $ R(H) $ の正規化群を用いて、辺推移性を分析する群論的技法を適用する。
• 自己同型群の解析とSylow部分群の議論を用いて、特に $ p $-群の場合に $ R(H) $ が $ \mathrm{Aut}(\Gamma) $ で正規であることを証明する。
• 特定の族における頂点および辺推移性を示すために、自己同型 $ \delta_{\beta, z, 1} $ および $ \sigma_{\alpha, a} $ の明示的構成を用いる。
• 文献[55]の補題2.2を適用して、双ケイリー構造を保つ自己同型を特徴づける。
• 代数的数論および合同条件（例えば $ p^2 $ を法として）を用いて、非アーベル $ p $-群上での自己同型作用の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規辺推移的双ケイリー図形が正規であるための条件は何か？
• RQ2 正規辺推移的双ケイリー図形は、弧推移的、半弧推移的、または半対称的である可能性があるか？
• RQ3 弧推移的、半弧推移的、半対称的という3つの対称性タイプそれぞれについて、無限族の正規辺推移的双ケイリー図形が存在するか？
• RQ4 周長が6以下の連結3次辺推移的図形の完全な分類は何か？
• RQ5 アーベル群、二面体群、およびメタ巡回 $ p $-群上の双ケイリー図形において、正規辺推移性の下で対称性の性質が一致するか？

主な発見

• すべての正規辺推移的双ケイリー図形は、弧推移的、半弧推移的、または半対称的であり、3つのタイプすべてに無限族が存在する。
• アーベル群、二面体群、およびメタ巡回 $ p $-群上の双ケイリー図形について、正規辺推移性はややきつい条件下で正規性を意味する。
• 本稿は、周長が6以下のすべての連結3次辺推移的図形の完全な分類を提供している。
• 各奇素数 $ p \geq 5 $ に対して、位数 $ 2p^3 $ の4次半弧推移的図形 $ \mathcal{H}_p $ が構成され、これは辺正則的であり、弧推移的ではない。
• $ \mathcal{H}_p $ の自己同型群には、指数2の唯一の部分群があり、$ R(H) $ は $ \mathrm{Aut}(\mathcal{H}_p) $ の正規Sylow $ p $-部分群である。
• 自己同型 $ \delta_{\beta, a^s b^2, 1} $ の存在により辺推移性が保証され、接続集合 $ S $ の非不変な逆元関係を用いて、$ \mathcal{H}_p $ が半弧推移的であることが示されている。