[論文レビュー] Edgewise subdivisions, local $h$-polynomials and excedances in the wreath product $\ZZ_r \wr \mathfrak{S}_n$

Christos A. Athanasiadis|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

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ひとこと要約

この論文は、単体のバーチャルサブディビジョンのr重エッジワイズサブディビジョンを、群ℤ_r ≀ 𝔖_nにおけるフラッグ過剰度と関連付けることで、単体の局所h多項式の組合せ的解釈を一般化する。局所h多項式がγ-非負であることを証明し、バランスドな順列とフラッグ過剰度統計を用いてγ係数の組合せ的解釈を提供する。これは、対称群における順列と過剰度に関する古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

The coefficients of the local $h$-polynomial of the barycentric subdivision of the simplex with $n$ vertices are known to count derangements in the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ by the number of excedances. A generalization of this interpretation is given for the local $h$-polynomial of the $r$th edgewise subdivision of the barycentric subdivision of the simplex. This polynomial is shown to be $γ$-nonnegative and a combinatorial interpretation to the corresponding $γ$-coefficients is provided. The new combinatorial interpretations involve the notions of flag excedance and descent in the wreath product $\ZZ_r \wr \mathfrak{S}_n$. A related result on the derangement polynomial for $\ZZ_r \wr \mathfrak{S}_n$, studied by Chow and Mansour, is also derived from results of Linusson, Shareshian and Wachs on the homology of Rees products of posets.

研究の動機と目的

• バーチャルサブディビジョンにおける局所h多項式の古典的解釈—係数が過剰度によって順列を数える—を高次のエッジワイズサブディビジョンに拡張すること。
• バーチャルサブディビジョンの(n−1)単体のr重エッジワイズサブディビジョンの局所h多項式に組合せ的解釈を与えること。
• この局所h多項式がγ-非負であることを証明し、群ℤ_r ≀ 𝔖_nにおけるフラッグ過剰度とバランスドな要素を用いてγ係数の組合せ的解釈を提供すること。
• ℤ_r ≀ 𝔖_nにおける順列多項式d_n^r(x)をポセットのリース積のホモロジーと関連づけ、ChowとMansourの結果をLinusson, Shareshian, Wachsによって回復すること。

提案手法

• 論文は、面制限に関する包含除算法を用いて局所h多項式を定義する：ℓ_V(Γ,x) = ∑_{F⊆V} (−1)^{n−|F|} h(Γ_F,x)。
• Linusson, Shareshian, Wachsによるポセットのリース積の結果を応用し、r重エッジワイズサブディビジョンのh多項式の母関数を導出する。
• 群ℤ_r ≀ 𝔖_nにおけるフラッグ過剰度統計fexc(w)を導入する。これはr·exc_A(w) + csum(w)として定義され、exc_Aは0色位置における過剰度を数え、csumは色の合計を表す。
• 順列多項式d_n^r(x)を対称的および反対称的部品f_n^r,+(x)とf_n^r,-(x)に分解し、それらが対称性を反映する関数方程式を満たすことを示す。
• 局所h多項式をγ基底で表現することでγ-非負性を証明する：ℓ_V(Γ,x) = ∑_{i=0}^{⌊n/2⌋} ξ_{n,r,i} x^i (1+x)^{n−2i}、ここでξ_{n,r,i}は単一のランクを持たないi個の下降ランクを持つ順列を数える。
• 包含除算法と母関数の操作を用いて、r重エッジワイズサブディビジョンのh多項式を、ℤ_r ≀ 𝔖_kにおけるバランスドな要素上のフラッグ過剰度母関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーチャルサブディビジョンのr重エッジワイズサブディビジョンの局所h多項式は、どのように組合せ的に解釈できるか？
• RQ2 この局所h多項式のγ展開におけるγ係数の組合せ的意味は何か？
• RQ3 群ℤ_r ≀ 𝔖_nにおけるフラッグ過剰度は、エッジワイズサブディビジョンと局所h多項式の構造とどのように関係するか？
• RQ4 ℤ_r ≀ 𝔖_nにおける順列多項式d_n^r(x)は、ポセットホモロジーを用いて解釈可能か？これにより、その単峰性と実根性にどのような意味が生じるか？
• RQ5 r重エッジワイズサブディビジョンの局所h多項式は実根を持ち、γ-非負性を満たすか？

主な発見

• バーチャルサブディビジョンの(n−1)単体のr重エッジワイズサブディビジョンの局所h多項式は、ℓ_V(Γ,x) = ∑_{w∈(𝒟_n^r)^b} x^{fexc(w)/r} として与えられる。ここで(𝒟_n^r)^bはℤ_r ≀ 𝔖_nにおけるバランスドな順列の集合である。
• 局所h多項式はγ-非負であり、係数ξ_{n,r,i}は単一のランクを持たないi個の下降ランクを持つℤ_r ≀ 𝔖_nの順列を数える。
• γ展開ℓ_V(Γ,x) = ∑_{i=0}^{⌊n/2⌋} ξ_{n,r,i} x^i (1+x)^{n−2i}は、フラッグ過剰度と降下統計を用いてγ係数の組合せ的解釈を提供する。
• 順列多項式d_n^r(x)は単峰的であり、ピークは⌊(n+1)/2⌋に位置し、f_n^r,+(x) + f_n^r,-(x)の分解と対称性の性質により実根性が確認された。
• r重エッジワイズサブディビジョンのh多項式の母関数は、h(sd(2^F)^⟨r⟩,x) = E_r(∑_{w∈ℤ_r≀𝔖_k} x^{fexc(w)}) = ∑_{w∈(ℤ_r≀𝔖_k)^b} x^{fexc(w)/r} として与えられ、バランスドな要素と関連づけられる。
• 論文はd_n^r(x)が実根を持ち、単峰的であることを確認し、γ展開とξ_{n,r,i}の組合せ的解釈を用いて単峰性の明確な新しい証明を提供した。